Em R^3 considere as bases
beta=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1) e beta^prime=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
Determine as coordenadas do vetor v=(1,2,-1) nas bases beta e beta^prime.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas do vetor (1,2,-1) em duas bases de R^3:
beta=(1,1,1),,(-1,1,0),,(1,0,-1) e a base canônica beta'=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Para isso, expressamos primeiro
v=(1,2,-1)
como combinação linear dos vetores de beta e resolvemos o sistema para os coeficientes. Depois, reconhecemos que em beta' as coordenadas são simplesmente as componentes de v.

Passo 2

Procuramos escalares c1,c2,c3 tais que
c1(1,1,1)+c2(-1,1,0)+c3(1,0,-1) = (1,2,-1)
Isso gera o sistema
c1 - c2 + c3 = 1, c1 + c2 = 2, c1 - c3 = -1

Passo 3

Das duas últimas equações isolamos
c2 = 2 - c1, c3 = c1 + 1
Substituindo na primeira:
c1 - (2 - c1) + (c1 + 1) = 1 Longrightarrow 3c1 - 1 = 1 Longrightarrow c1 = tfrac23
Logo
c2 = 2 - tfrac23 = tfrac43, c3 = tfrac23 + 1 = tfrac53
Assim, as coordenadas de v na base beta são
[v]beta = l(tfrac23,,tfrac43,,tfrac53r)

Passo 4

Na base canônica beta', as coordenadas de v são simplesmente as suas componentes, ou seja
[v]beta' = (1,2,-1)

Resposta

[v]beta = l(tfrac23,,tfrac43,,tfrac53r)
[v]beta' = (1,2,-1)

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