Se W1=(x, y, z) in R^3: x+2 y+z=0, encontre um subespaço W2, de dimensão 1 , tal que R^3=W1 oplus W2. Por que dim W2 deve ser igual 1?

Passo 1

O enunciado define
W1=(x,y,z)inR^3mid x+2y+z=0
e pede um subespaço W2 de dimensão 1 tal que
R^3=W1oplus W2
Aqui o conteúdo principal é a soma direta de subespaços e a relação de dimensões num espaço vetorial finito.

Passo 2

Observe que W1 é o núcleo da forma linear
f(x,y,z)=x+2y+z,
que é não nula em R^3. Portanto, por um teorema sobre dimensões de núcleos,
dim W1=dimker f =3-1=2
Para que haja soma direta que gere todo R^3, o complemento W2 deve ter dimensão
dim W2 = dimR^3 - dim W1 = 3-2 = 1

Passo 3

Basta escolher um vetor que não pertença a W1. Por exemplo, tome
v = (1,0,0)
Como f(1,0,0)=1neq0, temos vnotin W1. Definimos então
W2 = spanv
Verificamos que
  1. W1cap W2=0, pois um vetor t(1,0,0) em W1 satisfaz t=0.
  2. W1+W2=R^3, pois dado qualquer (x,y,z) podemos escrever
(x,y,z) = (x,y,z) - x,(1,0,0) ;+; x,(1,0,0),
onde (x,y,z)-x(1,0,0)in W1 e x(1,0,0)in W2. A decomposição é única, caracterizando a soma direta.

Passo 4

A razão para dim W2 ter de ser 1 é a fórmula da soma direta em espaços de dimensão finita: se
R^3=W1oplus W2,
então
dimR^3 = dim W1 + dim W2,
logo dim W2=3-2=1.

Resposta

Uma escolha conveniente é
W2 = span(1,0,0),
que satisfaz R^3=W1oplus W2 e tem dimensão 1.

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