Se
, encontre um subespaço
, de dimensão 1 , tal que
. Por que
deve ser igual 1?
Passo 1
O enunciado define
e pede um subespaço
de dimensão 1 tal que
Aqui o conteúdo principal é a soma direta de subespaços e a relação de dimensões num espaço vetorial finito.
Passo 2
Observe que
é o núcleo da forma linear
que é não nula em
. Portanto, por um teorema sobre dimensões de núcleos,
Para que haja soma direta que gere todo
, o complemento
deve ter dimensão
Passo 3
Basta escolher um vetor que não pertença a
. Por exemplo, tome
Como
, temos
. Definimos então
Verificamos que
-
, pois um vetor em satisfaz . -
, pois dado qualquer podemos escrever
onde
e
. A decomposição é única, caracterizando a soma direta.
Passo 4
A razão para
ter de ser 1 é a fórmula da soma direta em espaços de dimensão finita: se
então
logo
.
Resposta
Uma escolha conveniente é
que satisfaz
e tem dimensão 1.