No espaço dos polinômios P2 considere as bases
beta=1,1+t, t^2 e beta^prime=2,-t, 1+t^2
Encontre as matrizes de mudança de base [I]beta^beta^prime e [I]beta^prime^beta e verifique que [I]beta^prime^beta bul<=t [I]beta^beta^prime=I3.

Passo 1

O enunciado pede as matrizes de mudança de base no espaço P2 entre as bases
beta=1,;1+t,;t^2 e beta'=2,;-t,;1+t^2,
isto é,
[I]beta^beta';tal que;[v]beta'=[I]beta^beta',[v]beta, [I]beta'^beta;tal que;[w]beta=[I]beta'^beta,[w]beta'
O conteúdo principal é achar coordenadas de cada vetor de uma base na outra, comparando coeficientes de polinômios.

Passo 2

Calcular [I]beta^beta'. Cada coluna j é o vetor de coordenadas de betaj na base beta'. Escrevemos
betaj=a,2 + b,(-t) + c,(1+t^2) = (2a + c) + (-b),t + c,t^2,
e igualamos coeficientes com betaj.
  1. Para beta1=1:
2a + c =1, -b=0, c=0 ;Longrightarrow; a=tfrac12,;b=0,;c=0
  1. Para beta2=1+t:
2a + c =1, -b=1, c=0 ;Longrightarrow; a=tfrac12,;b=-1,;c=0
  1. Para beta3=t^2:
2a + c =0, -b=0, c=1 ;Longrightarrow; a=-tfrac12,;b=0,;c=1
Logo,
[I]beta^beta' = tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Calcular [I]beta'^beta. Cada coluna i é o vetor de coordenadas de beta'i na base beta. Escrevemos
beta'i=c1cdot1 + c2,(1+t) + c3,t^2 = (c1+c2) + c2,t + c3,t^2,
e igualamos coeficientes.
  1. Para beta'1=2:
c1+c2=2,;c2=0,;c3=0 ;Longrightarrow; c1=2,;c2=0,;c3=0
  1. Para beta'2=-t:
c1+c2=0,;c2=-1,;c3=0 ;Longrightarrow; c1=1,;c2=-1,;c3=0
  1. Para beta'3=1+t^2:
c1+c2=1,;c2=0,;c3=1 ;Longrightarrow; c1=1,;c2=0,;c3=1
Logo,
[I]beta'^beta = 2 & 1 & 1 0 & -1& 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Verificação do produto
[I]beta'^beta,[I]beta^beta' = 2 & 1 & 1 0 & -1& 0 0 & 0 & 1 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 =I3

Resposta

[I]beta^beta' = tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 , [I]beta'^beta = 2 & 1 & 1 0 & -1& 0 0 & 0 & 1 ,
e de fato [I]beta'^beta,[I]beta^beta'=I3.

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