Em R^3 considere as bases
beta=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1) e beta^prime=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
Encontre as matrizes de mudança de base [I]beta^beta^prime e [I]beta^prime^beta e verifique que [I]beta^prime^beta bul<=t[I]beta^beta^prime=I3.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de R^3:
beta=(1,1,1),,(-1,1,0),,(1,0,-1) e a base padrão
beta'=(1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1).
Queremos a matriz de mudança de base de beta para beta' e a inversa, de beta' para beta, e mostrar que o produto é I3.
Para isso vamos usar que:
  1. A matriz [I]beta^beta' tem colunas iguais às coordenadas dos vetores de beta na base padrão.
  2. A matriz [I]beta'^beta é simplesmente a inversa de [I]beta^beta'.

Passo 2

Montamos [I]beta^beta'. Como beta' é a base canônica, cada vetor de beta já vem nas suas coordenadas canônicas. Logo
[I]beta^beta' = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1

Passo 3

Calculamos a inversa dessa matriz para obter [I]beta'^beta=l([I]beta^beta'r)^-1.
O determinante é det=-3 e a matriz adjunta transposta divide-se por -3, resultando em
[I]beta'^beta =13 1 & 1 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & -2

Passo 4

Verificamos o produto
[I]beta'^beta,l[I]beta^beta';=;I3
De fato, multiplicando as matrizes acima obtemos a matriz identidade 3times3, confirmando que são inversas.

Resposta

[I]beta^beta' = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 ,
[I]beta'^beta =13 1 & 1 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & -2 ,
e
[I]beta'^beta,[I]beta^beta'=I3

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