No espaço dos polinômios P2 considere as bases
beta=1,1+t, t^2 e beta^prime=2,-t, 1+t^2
Determine as coordenadas do vetor v=t^2+t-2 nas bases beta e beta^prime.

Passo 1

O enunciado fala do espaço P2 (polinômios de grau <=2) e dá duas bases
beta=1,;1+t,;t^2 e beta'=2,;-t,;1+t^2,
pedindo as coordenadas de v=t^2+t-2 em cada uma. Para isso vamos escrever
v como combinação linear dos vetores de cada base e igualar coeficientes.

Passo 2

Queremos
e isso deve coincidir com
Igualando coeficientes:
Logo e .

Passo 3

Concluímos que, na base beta, as coordenadas de v são
[a,b,c]beta = [-3,,1,,1]

Passo 4

Agora, na base
que deve ser igual a
Igualando coeficientes:
Daí e .

Passo 5

Portanto, na base beta', as coordenadas de v são
[x,y,z]beta' = l[-tfrac32,,-1,,1r]

Resposta

Em beta: [-3,,1,,1]
Em beta': l[-tfrac32,,-1,,1r]

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