Considere as bases X=x1, x2, x3 e Y=y1, y2, y3 de R^3.
Determine as matrizes de transição PX Y e PY X responsáveis pelas mudanças de bases entre os vetores de coordenadas de X e de Y.
x1=(-3,-4,3) y1=(-2,-4,-5)
x2=(0,-1,-3) y2=(-4,-4,-4)
x3=(4,-2,-2) y3=(4,-5,5)

Passo 1

Temos em duas bases
com
O objetivo é encontrar as matrizes de passagem
que convertem coordenadas de um referencial para o outro.

Passo 2

Seja
PX=l[ x1; x2; x3r], PY=l[ y1; y2; y3r],
ambas 3times3. Então, para qualquer vetor v, vale
[ v]X=PX^-1, v, [ v]Y=PY^-1, v
Como queremos
[ v]Y =PXto Y,[ v]X,
basta notar que
PXto Y =PY^-1PX
Analogamente
PYto X =PX^-1PY =l(PXto Yr)^-1

Passo 3

Para obter PXto Y=PY^-1PX resolvemos três sistemas da forma
PY,ci=xi,
cuja solução ci=[xi]Y será a i-ésima coluna de PXto Y. Escrevendo
PY= -2 & -4 & 4 -4 & -4 & -5 -5 & -4 & 5 ,
resolvemos:
1 Para x1=(-3,-4,3) obtemos
[x1]Y =-53/29[6pt]253/116[6pt]15/29
2 Para x2=(0,-1,-3) obtemos
[x2]Y =28/69[6pt]1/23[6pt]-11/69
3 Para x3=(4,-2,-2) obtemos
[x3]Y =60/29[6pt]-53/29[6pt]6/29 ]

Passo 4

Assim,
PXto Y =l[,[x1]Y;[x2]Y;[x3]Yr] = -53/29 & 28/69 & 60/29[4pt] 253/116& 1/23 & -53/29[4pt] 15/29 & -11/69 & 6/29 ]

Passo 5

Finalmente,
PYto X =l(PXto Yr)^-1

Resposta

PXto Y = -5329 & 2869 & 6029[8pt] 253116 & 123 & -5329[8pt] 1529 & -1169& 629 , PYto X =l(PXto Yr)^-1 ]

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