Dado o espaço vetorial R^4, considere os conjuntos de vetores U=u1, u2, u3 e V=v1, v2, v3 (contidos no espaço) e um vetor genérico z in R^4 definido por z=(z1, z2, z3, z4).
Determine o subespaço R^3 gerado pelos vetores u1, u2, u3 em termos das restrições sobre as componentes de z.
u1=(0,0,-3,-12)
u2=(-43, 0,-4,-5)
u3=(13, 4,3, 12)
v1=(12, 74,-1,-7)
v2=(23, 0,-1,2)
v3=(12, 6,-4,-23)

Passo 1

O enunciado pede a descri\c{c}~ao do subespa\c{c}o Spanu1, u2, u3 subset R^4 em termos de uma restri\c{c}~ao linear sobre as coordenadas de um vetor gen’erico z = (z1, z2, z3, z4).

Passo 2

Como temos tr^es vetores em R^4 e supondo que eles sejam linearmente independentes, o subespa\c{c}o tem dimens~ao 3, logo 'e um hiperplano em R^4 definido por uma 'unica equa\c{c}~ao linear
n cdot z = 0,
onde n = (a,b,c,d) 'e um vetor normal ao hiperplano, isto 'e, satisfaz
n cdot ui = 0 (i=1,2,3)

Passo 3

Escrevemos as tr^es condi\c{c}~oes n cdot ui = 0:
n cdot u1 = -3c - tfrac12 d = 0, n cdot u2 = -tfrac43a - 4c - 5d = 0, n cdot u3 = tfrac13 a + 4b + 3c + tfrac12 d = 0

Passo 4

Da primeira equa\c{c}~ao vem d = -6c. Substituindo na segunda:
-tfrac43a - 4c - 5(-6c) = 0 ;Longrightarrow; 4a - 78c = 0 ;Longrightarrow; a = 19,5,c
Na terceira:
tfrac13(19,5c) + 4b + 3c + tfrac12(-6c) = 0 ;Longrightarrow; 6,5c + 4b = 0 ;Longrightarrow; b = -tfrac138c
Para obter coeficientes inteiros, escolhemos c = 8, o que d’a
a = 156, b = -13, d = -48
Assim um normal poss’ivel 'e n = (156, -13, 8, -48).

Passo 5

Logo o subespa\c{c}o gerado por u1, u2, u3 'e exatamente o conjunto dos vetores z = (z1, z2, z3, z4) in R^4 que satisfazem
156 , z1 - 13 , z2 + 8 , z3 - 48 , z4 = 0

Resposta

O subespa\c{c}o de dimens~ao 3 gerado por u1, u2, u3 'e
l (z1, z2, z3, z4) in R^4 : 156 , z1 - 13 , z2 + 8 , z3 - 48 , z4 = 0 r

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