Considere o operador T(x, y, z)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z). Determine a matriz canônica associada a esse operador, o polinômio característico, os autovalores, os autoespaços e as multiplicidades algébricas e geométricas associadas aos autovalores.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Tcolon R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (3x - 4z,;3y + 5z,; -z)
O conteúdo é Álgebra Linear: precisamos (1) encontrar a matriz de T na base canônica, (2) calcular o polinômio característico, (3) determinar os autovalores e suas multiplicidades algébricas, e (4) achar os autoespaços e suas multiplicidades geométricas.

Passo 2

Para obter a matriz de T na base canônica e1,e2,e3, aplicamos T a cada vetor:
T(e1)=T(1,0,0) = (3,0,0), T(e2)=T(0,1,0) = (0,3,0), T(e3)=T(0,0,1) = (-4,5,-1)
As colunas da matriz A são esses vetores:
A = 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = det 3-lambda & 0 & -4 0 & 3-lambda & 5 0 & 0 & -1-lambda = (3-lambda)(3-lambda)(-1-lambda)
Logo,
p(lambda) = (3-lambda)^2,(-1-lambda)

Passo 4

Os fatores do polinômio dão os autovalores:
lambda1 = 3, mu<iplicidade algébrica 2, lambda2 = -1, mu<iplicidade algébrica 1 éé

Passo 5

Agora achamos os autoespaços:
Para lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0.
A-3I = 0 & 0 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 ,
as equações dizem -4z=0 e 5z=0, logo z=0, e x,y livres. Assim
E3 = ker(A-3I) = l(x,y,0)r = span(1,0,0),,(0,1,0),
dimensão (multiplicidade geométrica) 2.
Para lambda=-1, resolvemos (A+I)v=0.
A+I = 4 & 0 & -4 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0
As equações são 4x-4z=0 e 4y+5z=0. Tomando z=t, vem x=t, y=-tfrac54,t. Logo
E-1 = l(t,-tfrac54 t,t)r = span(4,-5,4),
dimensão 1.

Resposta

Matriz canônica:
A = 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1
Polinômio característico:
p(lambda) = (3-lambda)^2(-1-lambda)
Autovalores e multiplicidades algébricas:
lambda=3, mu< algéb 2; lambda=-1, mu< algéb 1 éé
Autoespaços e multiplicidades geométricas:
E3 = span(1,0,0),(0,1,0), dim=2; E-1 = span(4,-5,4), dim=1

Exercícios relacionados