Seja T: R^2 longrightarrow R^2 definida por T(x, y)=(y, 4 x). Determine a matriz da transformação linear T, com relação a beta=(1,-2) ;(1,2) do R^2.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
,Tcolon R^2toR^2
por
T(x,y) = (y,,4x),
e pede a matriz de T na base beta = v1,v2 com
v1 = (1,-2), v2 = (1,2)
Para isso, precisamos encontrar as coordenadas de T(v1) e de T(v2) em relação a beta.

Passo 2

Calculamos primeiro a imagem de cada vetor da base:
T(v1)=T(1,-2)=(-2,;4cdot1)=(-2,4),
T(v2)=T(1,2)=(2,;4cdot1)=(2,4)

Passo 3

Expressamos
Isso gera o sistema
Da primeira equação em são .

Passo 4

De modo análogo, escrevemos
Da segunda vem . Na primeira:
Assim, as coordenadas de em são .

Passo 5

A matriz de T em relação à base beta tem colunas dadas por essas coordenadas:
[T]beta = -2 & 0 0 & 2

Resposta

[T]beta = -2 & 0 0 & 2

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