Considere as bases B=v1, v2 e C=w1, w2 em R^2, com:
v1=[l 1 1 ] v2=[l 2 3 ] w1=[l 1 0 ] w2=[l 0 1 ]
Encontre a matriz de mudança de base PC B.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2:
;B=v1,v2 com
v1=11, v2=23
e
;C=w1,w2 com
w1=10, w2=01
Queremos a matriz de mudança de base PCto B, que leva coordenadas em C (isto é, coordenadas padrão) em coordenadas em B. O conteúdo é mudança de base e inversão de matrizes.

Passo 2

Seja xC o vetor de coordenadas de um v em relação à base C e xB o mesmo vetor em relação à base B. Então
v = [w1;w2],xC e v = [v1;v2],xB
Chamando
C = [w1;w2]=I2, B=[v1;v2],
temos
B,xB = C,xC ;Longrightarrow; xB = B^-1,C,xC = B^-1,xC
Logo
PCto B = B^-1

Passo 3

A matriz B é
B = 1&21&3
O determinante é
det(B)=1cdot3-2cdot1=1
Logo
B^-1 = 1det(B) 3&-2-1&1 = 3&-2-1&1

Passo 4

Portanto a matriz de mudança de base de C para B é
PCto B = 3 & -2 [6pt] -1 & 1 ]

Resposta

PCto B = 3 & -2 -1 & 1

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