Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear com matriz associada:
A=[ccc 1 & 2 & 1 0 & 3 & -1 1 & 0 & 2 ]
Verifique se T é invertível, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^3toR^3 cuja matriz associada, na base canônica, é
A = 1 & 2 & 1 0 & 3 & -1 1 & 0 & 2
O conteúdo é verificar a invertibilidade de T, o que equivale a verificar se A é invertível.

Passo 2

Sabemos que uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, det(A)neq 0. Portanto, basta calcular det(A).

Passo 3

Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores na primeira linha, temos
det(A) = 1cdotdet3 & -1[6pt]0 & 2 - 2cdotdet0 & -1[6pt]1 & 2 + 1cdotdet0 & 3[6pt]1 & 0
Calculemos cada menor:
det3 & -10 & 2=3cdot2-(-1)cdot0=6,
det0 & -11 & 2=0cdot2-(-1)cdot1=1,
det0 & 31 & 0=0cdot0-3cdot1=-3
Logo,
det(A)=1cdot6 -2cdot1 +1cdot(-3)=6-2-3=1 ]

Passo 4

Como det(A)=1neq0, a matriz A é invertível. Consequentemente, a transformação linear T também é invertível.

Resposta

A transformação T é invertível, pois det(A)=1neq0.

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