Considere as bases B=u1, u2, u3 e B^prime=u1^prime, u2^prime, u3^prime de R^3, em que:
& u1=[c -3 0 -3 ] u2=[c -3 2 -1 ] u3=[c 1 6 -1 ] & u1^prime=[c -6 -6 0 ] u2^prime=[c -2 -6 4 ] u3^prime=[c -2 -3 7 ]
Encontre a matriz de transição de B para B^prime.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de R^3:
;B=u1,u2,u3 e ;B'=u1',u2',u3', cada vetor dado em coordenadas canônicas.
Queremos a matriz de transição de B para B', isto é, a matriz P tal que, para todo vetor v,
[v]B' ;=; P,[v]B
Vamos usar a relação
[v]B' ;=; (,underbrace[,u1';u2';u3']B' em canônica,)^-1 ; (,underbrace[,u1;u2;u3]B em canônica,); [v]B, ôô
logo
P ;=; (,u1';u2';u3',)^-1,(u1;u2;u3)

Passo 2

Escrevemos as matrizes cujas colunas são os vetores de cada base em coordenadas canônicas:
B ;=; -3 & -3 & 1 0 & 2 & 6 -3 & -1 & -1 , B' ;=; -6 & -2 & -2 -6 & -6 & -3 0 & 4 & 7

Passo 3

Para evitar calcular explicitamente B'^-1, vamos obter cada coluna de P resolvendo
B',yj ;=; j-ésima coluna de B, é
pois então yj será a j-ésima coluna de P.

Passo 4

(1) Coluna 1 de é .
Resolvendo
acha-se
, , .
Logo coluna 1 de é

Passo 5

(2) Coluna 2 de B é -32-1.
Resolvendo
B',(a,b,c)^T =(-3,2,-1)^T,
acha-se
;c=2/3, ;b=-17/12, ;a=3/4.
Logo coluna 2 de P é
3/4-17/122/3

Passo 6

(3) Coluna 3 de B é 16-1.
Resolvendo
B',(a,b,c)^T =(1,6,-1)^T,
acha-se
;c=2/3, ;b=-17/12, ;a=1/12.
Logo coluna 3 de P é
1/12-17/122/3

Resposta

P ;=; tfrac34 & tfrac34 & tfrac112 -tfrac34& -tfrac1712& -tfrac1712 0 & tfrac23 & tfrac23 ,
que satisfaz [v]B'=P,[v]B.

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