Sejam r e s retas perpendiculares, cujo ponto de interseção é igual a ( alpha, 3 ). Considere uma reta t que intersecta r e s, respectivamente, nos pontos (0,-1) e (4,2). Então, podemos afirmar que o valor possível para:
a) alpha=-2, as equações de r e s são, respectivamente, y=3 x-1 e y=-13 x+4.
b) alpha=-2, as equações de r e s são, respectivamente, y=-13 x-1 e y=3 x+4.
c) alpha=0, as equações de r e s são, respectivamente, y=3 x-1 e y=3 x+3.
d) alpha=2, as equações de r e s são, respectivamente, y=2 x-1 e y=-12 x+4.
e) alpha=2, as equações de r e s são, respectivamente, y=-12 x-1 e y=2 x+4.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas r e s perpendiculares que se intersectam em (alpha,3), e uma reta t que cruza r em (0,-1) e s em (4,2). Precisamos achar o valor de alpha e as equações de r e s.

Passo 2

Vamos primeiro achar a equação de t. Como passa por (0,-1) e (4,2), o coeficiente angular é
mt = 2 - (-1)4 - 0 = 34,
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t:;y = 34x - 1

Passo 3

A reta r passa por (0,-1) e por P=(alpha,3), então seu coeficiente angular é
mr = 3 - (-1)alpha - 0 = 4alpha
A reta s passa por (4,2) e por P=(alpha,3), então
ms = 3 - 2alpha - 4 = 1alpha - 4

Passo 4

Como r e s são perpendiculares, vale
mr cdot ms = -1 Longrightarrow 4alphacdot1alpha-4 = -1
Daí
4 = -alpha(alpha-4) ;Longrightarrow; alpha^2 -4alpha +4 =0 ;Longrightarrow; (alpha-2)^2 = 0 ;Longrightarrow; alpha = 2

Passo 5

Com alpha=2 obtemos
mr = 42 = 2, ms = 12-4 = -12
Então a equação de r, passando por (0,-1) com coeficiente 2, é
r:;y = 2x - 1,
e a de s, passando por (4,2) com coeficiente -tfrac12, é
s:;y = -tfrac12 x + 4

Passo 6

Comparando com as alternativas do enunciado, isso corresponde à letra (d).

Resposta

(d)

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