Terceira lista de exercícios - Álgebra Linear.
Calcule o determinante da matriz
A=[ccccc 1 & -2 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 2 & 2 & 0 1 & -1 & 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & 1 ]

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear onde precisamos calcular o determinante da seguinte matriz:
A=[ccccc 1 & -2 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 2 & 2 & 0 1 & -1 & 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & 1 ]
Para isso, vamos usar o conceito de determinante de matrizes quadradas. O determinante é um número que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Vamos calcular o determinante dessa matriz 5x5 passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que calcular o determinante de uma matriz grande pode ser trabalhoso, mas podemos simplificar escolhendo uma linha ou coluna com mais zeros. Isso facilita os cálculos porque termos com zero desaparecem.
Observando a matriz A, a segunda linha tem dois zeros, então vamos expandir o determinante por essa linha para facilitar.

Passo 3

A fórmula para calcular o determinante expandindo pela segunda linha é:
det(A) = a21C21 + a22C22 + a23C23 + a24C24 + a25C25
Onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.
Como na segunda linha temos dois zeros ( a21 = 0 e a22 = 0 ), esses termos vão desaparecer, ficando:
det(A) = a23C23 + a24C24 + a25C25

Passo 4

Agora, vamos identificar os elementos não zero na segunda linha:
  • a23 = 2
  • a24 = 2
  • a25 = 0
Como a25 = 0 , o termo correspondente também vai desaparecer. Assim, temos:
det(A) = a23C23 + a24C24

Passo 5

Vamos calcular os cofatores C23 e C24 . O cofator é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
Onde Mij é o menor complementar, ou seja, a determinante da matriz que sobra ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Para C23 :
  • i = 2 , j = 3
  • (-1)^2+3 = -1
  • Matriz menor M23 :
[cccc 1 & -2 & -1 & -1 1 & -1 & 1 & 1 2 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 1 ]
Assim, C23 = -1 cdot det(M23)
Para C24 :
  • i = 2 , j = 4
  • (-1)^2+4 = 1
  • Matriz menor M24 :
[cccc 1 & -2 & 0 & -1 1 & -1 & 3 & 1 2 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 ]
Assim, C24 = 1 cdot det(M24)

Passo 6

Agora, precisamos calcular os determinantes das matrizes menores M23 e M24 .
Vamos começar com det(M23) :
M23 = [cccc 1 & -2 & -1 & -1 1 & -1 & 1 & 1 2 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 1 ]
Para simplificar, vamos expandir esse determinante usando a primeira linha.

Passo 7

Expansão do determinante de M23 pela primeira linha:
det(M23) = 1 cdot C11 - (-2) cdot C12 -1 cdot C13 -1 cdot C14
Calculando cada cofator:
  • C11 = (-1)^1+1 cdot det [ccc -1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 1 & 1 & 1 ] = 1 cdot det [ccc -1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 1 & 1 & 1 ]
  • C12 = (-1)^1+2 cdot det [ccc 1 & 1 & 1 2 & -1 & 0 0 & 1 & 1 ] = -1 cdot det [ccc 1 & 1 & 1 2 & -1 & 0 0 & 1 & 1 ]
  • C13 = (-1)^1+3 cdot det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 ] = -1 cdot det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 ]
  • C14 = (-1)^1+4 cdot det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 0 & 1 & 1 ] = 1 cdot det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 0 & 1 & 1 ]

Passo 8

Agora, vamos calcular cada determinante menor:
  1. Calculando det [ccc -1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 1 & 1 & 1 ] :
Usando a regra de Sarrus ou expansão:
(-1) cdot (-1) cdot 1 + 1 cdot 0 cdot 1 + 1 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot (-1) cdot 1 - 1 cdot 0 cdot (-1) - (-1) cdot 0 cdot 1 = 1 + 0 + 0 - (-1) - 0 - 0 = 1 + 1 = 2
Então, C11 = 1 cdot 2 = 2
  1. Calculando det [ccc 1 & 1 & 1 2 & -1 & 0 0 & 1 & 1 ] :
1 cdot (-1) cdot 1 + 1 cdot 0 cdot 0 + 1 cdot 2 cdot 1 - 1 cdot (-1) cdot 0 - 1 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot 2 cdot 1 = (-1) + 0 + 2 - 0 - 0 - 2 = -1 + 2 - 2 = -1
Então, C12 = -1 cdot (-1) = 1
  1. Calculando det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 ] :
1 cdot 0 cdot 1 + (-1) cdot 0 cdot 0 + 1 cdot 2 cdot 1 - 1 cdot 0 cdot 0 - 1 cdot 0 cdot 1 - (-1) cdot 2 cdot 1 = 0 + 0 + 2 - 0 - 0 + 2 = 4
Então, C13 = -1 cdot 4 = -4
  1. Calculando det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 0 & 1 & 1 ] :
1 cdot 0 cdot 1 + (-1) cdot (-1) cdot 0 + 1 cdot 2 cdot 1 - 1 cdot 0 cdot 0 - 1 cdot (-1) cdot 0 - (-1) cdot 2 cdot 1 = 0 + 0 + 2 - 0 - 0 + 2 = 4
Então, C14 = 1 cdot 4 = 4

Passo 9

Agora, substituindo os cofatores no determinante de M23 :
det(M23) = 1 cdot 2 - (-2) cdot 1 -1 cdot (-4) -1 cdot 4 = 2 + 2 + 4 - 4 = 4
Então, C23 = -1 cdot 4 = -4

Passo 10

Agora, vamos calcular det(M24) :
M24 = [cccc 1 & -2 & 0 & -1 1 & -1 & 3 & 1 2 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 ]
Vamos expandir esse determinante também usando a primeira linha para simplificar.

Passo 11

Expansão do determinante de M24 pela primeira linha:
det(M24) = 1 cdot C11 - (-2) cdot C12 + 0 cdot C13 -1 cdot C14
Como temos um zero, o termo correspondente desaparece:
det(M24) = 1 cdot C11 + 2 cdot C12 -1 cdot C14

Passo 12

Calculando os cofatores:
  1. C11 = (-1)^1+1 cdot det [ccc -1 & 3 & 1 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 ] = 1 cdot det [ccc -1 & 3 & 1 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 ]
  2. C12 = (-1)^1+2 cdot det [ccc 1 & 3 & 1 2 & 1 & 0 0 & -1 & 1 ] = -1 cdot det [ccc 1 & 3 & 1 2 & 1 & 0 0 & -1 & 1 ]
  3. C14 = (-1)^1+4 cdot det [ccc 1 & -1 & 3 2 & 0 & 1 0 & 1 & -1 ] = 1 cdot det [ccc 1 & -1 & 3 2 & 0 & 1 0 & 1 & -1 ]

Passo 13

Calculando cada determinante menor:
  1. det [ccc -1 & 3 & 1 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 ] :
-1 cdot 1 cdot 1 + 3 cdot 0 cdot 1 + 1 cdot 0 cdot (-1) - 1 cdot 1 cdot 1 - 1 cdot 0 cdot (-1) - (-1) cdot 0 cdot 1 = -1 + 0 + 0 -1 -0 -0 = -2
Então, C11 = 1 cdot (-2) = -2
  1. det [ccc 1 & 3 & 1 2 & 1 & 0 0 & -1 & 1 ] :
1 cdot 1 cdot 1 + 3 cdot 0 cdot 0 + 1 cdot 2 cdot (-1) -1 cdot 1 cdot 0 -1 cdot 0 cdot 1 -3 cdot 2 cdot 1 = 1 + 0 -2 -0 -0 -6 = -7
Então, C12 = -1 cdot (-7) = 7
  1. det [ccc 1 & -1 & 3 2 & 0 & 1 0 & 1 & -1 ] :
1 cdot 0 cdot (-1) + (-1) cdot 1 cdot 0 + 3 cdot 2 cdot 1 -3 cdot 0 cdot 0 -1 cdot 1 cdot 0 -1 cdot 2 cdot (-1) = 0 + 0 + 6 -0 -0 +2 = 8
Então, C14 = 1 cdot 8 = 8

Passo 14

Substituindo os cofatores no determinante de M24 :
det(M24) = 1 cdot (-2) + 2 cdot 7 -1 cdot 8 = -2 + 14 -8 = 4

Passo 15

Agora, voltando ao determinante da matriz original A :
det(A) = a23C23 + a24C24 = 2 cdot (-4) + 2 cdot 4 = -8 + 8 = 0

Resposta

O determinante da matriz A é 0.

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