Terceira lista de exercícios - Álgebra Linear.
Calcule o determinante da matriz
Calcule o determinante da matriz
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear onde precisamos calcular o determinante da seguinte matriz:
Para isso, vamos usar o conceito de determinante de matrizes quadradas. O determinante é um número que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Vamos calcular o determinante dessa matriz 5x5 passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que calcular o determinante de uma matriz grande pode ser trabalhoso, mas podemos simplificar escolhendo uma linha ou coluna com mais zeros. Isso facilita os cálculos porque termos com zero desaparecem.
Observando a matriz A, a segunda linha tem dois zeros, então vamos expandir o determinante por essa linha para facilitar.
Passo 3
A fórmula para calcular o determinante expandindo pela segunda linha é:
Onde
aij são os elementos da matriz e
Cij são os cofatores correspondentes.
Como na segunda linha temos dois zeros (
a21 = 0 e
a22 = 0 ), esses termos vão desaparecer, ficando:
Passo 4
Agora, vamos identificar os elementos não zero na segunda linha:
-
a23 = 2 -
a24 = 2 -
a25 = 0
Como
a25 = 0 , o termo correspondente também vai desaparecer. Assim, temos:
Passo 5
Vamos calcular os cofatores
C23 e
C24 . O cofator é dado por:
Onde
Mij é o menor complementar, ou seja, a determinante da matriz que sobra ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Para
C23 :
-
,i = 2 j = 3 -
(-1)^2+3 = -1 - Matriz menor
:M23
Assim,
C23 = -1 cdot det(M23)
Para
C24 :
-
,i = 2 j = 4 -
(-1)^2+4 = 1 - Matriz menor
:M24
Assim,
C24 = 1 cdot det(M24)
Passo 6
Agora, precisamos calcular os determinantes das matrizes menores
M23 e
M24 .
Vamos começar com
det(M23) :
Para simplificar, vamos expandir esse determinante usando a primeira linha.
Passo 7
Expansão do determinante de
M23 pela primeira linha:
Calculando cada cofator:
-
C11 = (-1)^1+1 cdot det [ccc -1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 1 & 1 & 1 ] = 1 cdot det [ccc -1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 1 & 1 & 1 ] -
C12 = (-1)^1+2 cdot det [ccc 1 & 1 & 1 2 & -1 & 0 0 & 1 & 1 ] = -1 cdot det [ccc 1 & 1 & 1 2 & -1 & 0 0 & 1 & 1 ] -
C13 = (-1)^1+3 cdot det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 ] = -1 cdot det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 ] -
C14 = (-1)^1+4 cdot det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 0 & 1 & 1 ] = 1 cdot det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 0 & 1 & 1 ]
Passo 8
Agora, vamos calcular cada determinante menor:
- Calculando
:det [ccc -1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 1 & 1 & 1 ]
Usando a regra de Sarrus ou expansão:
Então,
C11 = 1 cdot 2 = 2
- Calculando
:det [ccc 1 & 1 & 1 2 & -1 & 0 0 & 1 & 1 ]
Então,
C12 = -1 cdot (-1) = 1
- Calculando
:det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 ]
Então,
C13 = -1 cdot 4 = -4
- Calculando
:det [ccc 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 0 & 1 & 1 ]
Então,
C14 = 1 cdot 4 = 4
Passo 9
Agora, substituindo os cofatores no determinante de
M23 :
Então,
C23 = -1 cdot 4 = -4
Passo 10
Agora, vamos calcular
det(M24) :
Vamos expandir esse determinante também usando a primeira linha para simplificar.
Passo 11
Expansão do determinante de
M24 pela primeira linha:
Como temos um zero, o termo correspondente desaparece:
Passo 12
Calculando os cofatores:
-
C11 = (-1)^1+1 cdot det [ccc -1 & 3 & 1 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 ] = 1 cdot det [ccc -1 & 3 & 1 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 ] -
C12 = (-1)^1+2 cdot det [ccc 1 & 3 & 1 2 & 1 & 0 0 & -1 & 1 ] = -1 cdot det [ccc 1 & 3 & 1 2 & 1 & 0 0 & -1 & 1 ] -
C14 = (-1)^1+4 cdot det [ccc 1 & -1 & 3 2 & 0 & 1 0 & 1 & -1 ] = 1 cdot det [ccc 1 & -1 & 3 2 & 0 & 1 0 & 1 & -1 ]
Passo 13
Calculando cada determinante menor:
-
:det [ccc -1 & 3 & 1 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 ]
Então,
C11 = 1 cdot (-2) = -2
-
:det [ccc 1 & 3 & 1 2 & 1 & 0 0 & -1 & 1 ]
Então,
C12 = -1 cdot (-7) = 7
-
:det [ccc 1 & -1 & 3 2 & 0 & 1 0 & 1 & -1 ]
Então,
C14 = 1 cdot 8 = 8
Passo 14
Substituindo os cofatores no determinante de
M24 :
Passo 15
Agora, voltando ao determinante da matriz original
A :
Resposta
O determinante da matriz
A é 0.