1. Considere o espaço vetorial P3(t) dos polinômios de grau menor ou igual a 3.
    a) Mostre que S=(t-1)^3,(t-1)^2, t-1,1 é uma base para P3(t).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S = (t-1)^3,;(t-1)^2,;t-1,;1
é base de P3(t), isto é, do espaço dos polinômios de grau <=3. Lembrando que
1. dim P3(t)=4.
2. Uma família de quatro vetores em espaço de dimensão quatro é base se, e somente se, for linearmente independente (ou, equivalentemente, se gerar todo o espaço).

Passo 2

(Span) Seja p(t) um polinômio arbitrário em P3(t). Defina u = t-1. Então
q(u) = p(u+1)
é um polinômio em u de grau <=3, logo existem escalares A,B,C,D tais que
q(u) = A,u^3 + B,u^2 + C,u + D
Voltando a t, u = t-1 implica
p(t) = A,(t-1)^3 + B,(t-1)^2 + C,(t-1) + D
Isso mostra que qualquer p(t) pode ser escrito como combinação linear dos elementos de S, ou seja, Span(S)= P3(t).

Passo 3

(Independência linear) Suponha que exista combinação linear nula
alpha,(t-1)^3 + beta,(t-1)^2 + gamma,(t-1) + de<a = 0 para todo (t)
De novo faça u = t-1. A equação vira
alpha,u^3 + beta,u^2 + gamma,u + de<a = 0 para todo (u)
Mas um polinômio em u é identicamente nulo somente se todos os coeficientes são zero. Logo
alpha = beta = gamma = de<a = 0,
e a família S é linearmente independente.

Resposta

Como S tem quatro vetores, gera P3(t) e é linearmente independente, concluímos que S é base de P3(t).

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