- Considere o espaço vetorial
dos polinômios de grau menor ou igual a 3.
a) Mostre que
é uma base para
.
a) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é base de
, isto é, do espaço dos polinômios de grau
. Lembrando que
.
.
. Uma família de quatro vetores em espaço de dimensão quatro é base se, e somente se, for linearmente independente (ou, equivalentemente, se gerar todo o espaço).
Passo 2
(Span) Seja
um polinômio arbitrário em
. Defina
. Então
é um polinômio em
de grau
, logo existem escalares
tais que
Voltando a
,
implica
Isso mostra que qualquer
pode ser escrito como combinação linear dos elementos de
, ou seja,
.
Passo 3
(Independência linear) Suponha que exista combinação linear nula
De novo faça
. A equação vira
Mas um polinômio em
é identicamente nulo somente se todos os coeficientes são zero. Logo
e a família
é linearmente independente.
Resposta
Como
tem quatro vetores, gera
e é linearmente independente, concluímos que
é base de
.