Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem 2. Quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
d)
é diagonal
d)
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial de todas as matrizes
sobre um corpo (por exemplo
), e o subconjunto
Queremos verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, usamos o critério padrão:
Passo 2
Verificar que o elemento nulo de
pertence a
.
O elemento nulo em é a matriz
O elemento nulo em
Como todos os seus elementos fora da diagonal principal são zero, essa matriz é diagonal. Logo,
Passo 3
Verificar a fechamento de
sob adição.
Sejam
Sejam
duas matrizes diagonais em
. Então
que é também uma matriz diagonal. Portanto,
e
é fechado sob adição.]
Passo 4
Verificar o fechamento de
sob multiplicação escalar.
Seja um escalar e
Seja
Então
que continua sendo diagonal. Logo,
e
é fechado sob multiplicação escalar.]