Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem 2. Quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta.
d) W=A in V mid A é diagonal

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial de todas as matrizes 2times2 sobre um corpo (por exemplo R), e o subconjunto
W = Ain V mid A é diagonal é
Queremos verificar se W é um subespaço vetorial de V. Para isso, usamos o critério padrão:
1. O vetor zero de V está em W?
2. W é fechado sob adição?
3. W é fechado sob multiplicação escalar?

Passo 2

Verificar que o elemento nulo de V pertence a W.
O elemento nulo em V é a matriz
0 = 0 & 0 [6pt] 0 & 0
Como todos os seus elementos fora da diagonal principal são zero, essa matriz é diagonal. Logo,
0 in W ]

Passo 3

Verificar a fechamento de W sob adição.
Sejam
A = a & 0 [3pt] 0 & b e B = c & 0 [3pt] 0 & d
duas matrizes diagonais em W. Então
A + B = a+c & 0 [3pt] 0 & b+d,
que é também uma matriz diagonal. Portanto,
A+B in W,
e W é fechado sob adição.]

Passo 4

Verificar o fechamento de W sob multiplicação escalar.
Seja lambda um escalar e
A = a & 0 [3pt] 0 & b in W
Então
lambda A = lambda a & 0 [3pt] 0 & lambda b,
que continua sendo diagonal. Logo,
lambda A in W,
e W é fechado sob multiplicação escalar.]

Resposta

W é um subespaço vetorial de V, pois contém o zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar.

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