1. Considere a transformação linear S: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) definida por
S(a, b, c)=\left(\begin{array}{cc} a-b & b+2 c \\\ a+2 c & 0 \end{array}\right) .
a) ( 1,5 ponto) Determine uma base da imagem de S e a dimensão do núcleo de S.
b) ( 0,5 ponto) S é injetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
\;S\colon\mathbb{R}^3\to M_{2\times 2}(\mathbb{R}) definida por
S(a,b,c)=\begin{pmatrix}a-b & b+2c\\[6pt]a+2c & 0\end{pmatrix}.
Precisamos encontrar uma base de \mathrm{Im}(S), a dimensão de \ker(S) e verificar se S é injetora.]

Passo 2

Escrevemos S(a,b,c) como combinação linear de três matrizes:
S(a,b,c) = a\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}}_{M_1} + b\underbrace{\begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}}_{M_2} + c\underbrace{\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&0\end{pmatrix}}_{M_3}.
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\mathrm{Im}(S)=\mathrm{span}\{M_1,M_2,M_3\}.

Passo 3

Para determinar \dim\mathrm{Im}(S)\), analisamos a independência de \(M_1,M_2,M_3\). Se \[\alpha M_1+\beta M_2+\gamma M_3=0,
as entradas geram o sistema
\begin{cases} \alpha-\beta=0,\\\ \beta+2\gamma=0,\\\ \alpha+2\gamma=0, \end{cases}
de onde \beta=\alpha\] e \(\gamma=-\tfrac\alpha2. Há uma relação não trivial, portanto
\dim\mathrm{Im}(S)=3-1=2.

Passo 4

Escolhendo agora duas matrizes independentemente, por exemplo M_1 e M_3, obtemos uma base de \mathrm{Im}(S):
\mathcal{B}_{\mathrm{Im}(S)} =\left\{ \begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&2\\\ 2&0\end{pmatrix} \right\}, \quad \dim\mathrm{Im}(S)=2.

Passo 5

Pela fórmula de posto e nulidade em \mathbb{R}^3:
\dim\ker(S)=3-\dim\mathrm{Im}(S)=3-2=1.
Alternativamente, resolver S(a,b,c)=0 leva a (a,b,c)=t(-2,-2,1), também dando nulidade 1.

Passo 6

Como \ker(S)\neq\{0\}, a transformação não é injetora.

Resposta

a) Uma base de \mathrm{Im}(S) é
\left\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&0\end{pmatrix}\right\},
e \dim\ker(S)=1.
b) S não é injetora, pois \ker(S) contém vetores não nulos.

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