- Considere a transformação linear
definida por
a) ( 1,5 ponto) Determine uma base da imagem de
e a dimensão do núcleo de
.
b) ( 0,5 ponto)
é injetora? Justifique.
b) ( 0,5 ponto)
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
definida por
Precisamos encontrar uma base de
, a dimensão de
e verificar se
é injetora.]
Passo 2
Escrevemos
como combinação linear de três matrizes:
Logo
Passo 3
Para determinar
as entradas geram o sistema
de onde
. Há uma relação não trivial, portanto
Passo 4
Escolhendo agora duas matrizes independentemente, por exemplo
e
, obtemos uma base de
:
Passo 5
Pela fórmula de posto e nulidade em
:
Alternativamente, resolver
leva a
, também dando nulidade
.
Passo 6
Como
, a transformação não é injetora.
Resposta
a) Uma base de
é
e
.
b)
não é injetora, pois
contém vetores não nulos.