1. Considere as bases \gamma=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} do \mathbb{R}^{3} e \alpha=\{(1,1),(0,1)\} e \beta=\{(1,0),(0,1)\} do \mathbb{R}^{2}. Considere também as transformações lineares T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} e F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} tais que T(x, y)=(2 x+y, 3 x+2 y) e [F]_{\alpha}^{\gamma}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 2 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right).
    a) ( 1,0 ponto) Determine F(x, y, z).
    b) (1,0 ponto) Determine [T]_{\beta}^{\alpha}.
    c) ( 1,5 ponto) Mostre que T é um isomorfismo e determine T^{-1}(x, y).

Passo 1

O enunciado dá as bases
\gamma=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} em \mathbb{R}^3,
\alpha=\{(1,1),(0,1)\} e \beta=\{(1,0),(0,1)\} em \mathbb{R}^2,
a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com
T(x,y)=(2x+y,\;3x+2y)
e a matriz de F\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 relativa à base de entrada \gamma e saída \alpha:
[F]_{\alpha}^{\gamma} =\begin{pmatrix}2&0&2\\\ 0&-1&2\end{pmatrix}.
Precisamos de (a) achar a fórmula explícita de F(x,y,z) em coordenadas padrão, (b) obter [T]_{\beta}^{\alpha} e (c) mostrar que T é isomorfismo e calcular T^{-1}(x,y). Para isso usaremos a definição de matriz de uma transformação em bases dadas e o fato de que det  \neq0 garante invertibilidade.

Passo 2

Para (a), note que as colunas de [F]_{\alpha}^{\gamma} são as coordenadas de F(e_j) na base \alpha, onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
  • Coluna 1 = \bigl(2,0\bigr) em \alpha significa
F(e_1)=2\,(1,1)+0\,(0,1)=(2,2).
  • Coluna 2 = \bigl(0,-1\bigr) em \alpha significa
F(e_2)=0\,(1,1)-1\,(0,1)=(0,-1).
  • Coluna 3 = \bigl(2,2\bigr) em \alpha significa
F(e_3)=2\,(1,1)+2\,(0,1)=(2,4).
Por linearidade, para (x,y,z)=x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3
F(x,y,z) =x\,(2,2)+y\,(0,-1)+z\,(2,4) =(2x+2z,\;2x - y +4z).

Passo 3

Para (b), [T]_{\beta}^{\alpha} tem colunas dadas pelas coordenadas de T(e_1) e T(e_2) na base \alpha, sendo e_1=(1,0), e_2=(0,1) em \beta.
  • T(e_1)=T(1,0)=(2,3). Procuramos (a,b) tais que
(2,3)=a\,(1,1)+b\,(0,1)=(a,\;a+b).
Daí a=2, a+b=3\implies b=1. Primeira coluna = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
  • T(e_2)=T(0,1)=(1,2). Escrevemos
(1,2)=c\,(1,1)+d\,(0,1)=(c,\;c+d),
logo c=1, c+d=2\implies d=1. Segunda coluna = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para (c), observe que a matriz de T na base padrão é
A=\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&2\end{pmatrix},
cujo determinante é
\det(A)=2\cdot2-3\cdot1=1\neq0.
Logo T é bijetora e inversível (isomorfismo). O inverso tem matriz
A^{-1}=\frac1{\det(A)}\begin{pmatrix}2&-1\\\ -3&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&-1\\\ -3&2\end{pmatrix}.
Assim, se (u,v)=T(x,y), então
(x,y)=T^{-1}(u,v) =\bigl(2u - v,\;-3u +2v\bigr).

Resposta

a) F(x,y,z)=(2x+2z,\;2x - y +4z).
b) \displaystyle [T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
c) \det(A)=1\neq0 mostra que T é isomorfismo e
T^{-1}(x,y)=(2x - y,\;-3x +2y).

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