(2,0 pontos) Justifique se a aplicação S: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por S(x, y)=(0, y-x, 3 y), é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
S\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3
definida por
S(x,y) = (0,\;y - x,\;3y).
Queremos verificar se S é transformação linear, ou seja, se preserva soma de vetores e multiplicação escalar em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam (x_1,y_1) e (x_2,y_2) em \mathbb{R}^2. Então
S\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) = S(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(0,\;(y_1+y_2)-(x_1+x_2),\;3(y_1+y_2)\bigr).
Por agrupamento de termos, isto é
(0,\;y_1-x_1,\;3y_1)+(0,\;y_2-x_2,\;3y_2) = S(x_1,y_1) + S(x_2,y_2).
Logo S(u+v)=S(u)+S(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 e todo escalar \alpha,
S\bigl(\alpha\,(x,y)\bigr) = S(\alpha x,\;\alpha y) = \bigl(0,\;\alpha y-\alpha x,\;3\alpha y\bigr) = \alpha\,(0,\;y-x,\;3y) = \alpha\,S(x,y).
Portanto S(\alpha u)=\alpha\,S(u).

Passo 4

Como S satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que S é de fato uma transformação linear.

Resposta

Sim. S é transformação linear.

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