1. (2,5 pontos) Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(3 y, 9 z, x). Determine o polinômio característico, o(s) autovalor(es) e o(s) autoespaço(s) de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dado por
T(x,y,z) = (3y,\;9z,\;x).
O conteúdo aqui é encontrar o polinômio característico de T, depois os autovalores (raízes desse polinômio) e, finalmente, para cada autovalor \lambda, o autoespaço \ker(T-\lambda I).

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}. Note que
T(e_{1}) = T(1,0,0) = (0,0,1) = e_{3},\quad T(e_{2}) = (3,0,0) = 3e_{1},\quad T(e_{3}) = (0,9,0) = 9e_{2}.
Logo, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 9\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 3 & 0\\\\ 0 & -\lambda & 9\\\\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos \det(A-\lambda I) por expansão na primeira linha:
\det(A-\lambda I) = (-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 9\\\ 0 & -\lambda\end{pmatrix} -3\det\begin{pmatrix}0 & 9\\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} = -\lambda\bigl((-\lambda)(-\lambda)-0\bigr)-3\bigl(0\cdot(-\lambda)-9\cdot1\bigr).
Isso dá
-\lambda(\lambda^{2}) -3(-9) = -\lambda^{3} +27 \quad\Longrightarrow\quad p(\lambda) = \lambda^{3}-27.
As raízes de p(\lambda)=0 são as soluções de \lambda^{3}=27. Em \mathbb{R} só temos
\lambda = 3
(com multiplicidade algébrica 3).

Passo 4

Para achar o autoespaço associado a \lambda=3\), resolvemos \[(A - 3I)(x,y,z) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} -3x +3y = 0,\\\\ -3y +9z = 0,\\\ x -3z = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem x=3z\]. Substituindo na primeira, \(3z\cdot(-3)+3y=0 y=3z. A segunda também dá y=3z. Logo o espaço de soluções é
\{(x,y,z) : x=3z,\;y=3z\} = \{z\,(3,3,1)\mid z\in\mathbb{R}\} =\span\{(3,3,1)\}.

Resposta

\text{Polinômio característico: }p(\lambda)=\lambda^{3}-27, \quad\text{autovalor: }\{3\}, \quad\text{autoespaço: }E_{3}=\span\{(3,3,1)\}.

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