(2,5 pontos) Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(3 y, 9 z, x). Determine o polinômio característico, o(s) autovalor(es) e o(s) autoespaço(s) de T.
Passo 1
O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dado por
T(x,y,z) = (3y,\;9z,\;x).
O conteúdo aqui é encontrar o polinômio característico de T, depois os autovalores (raízes desse polinômio) e, finalmente, para cada autovalor \lambda, o autoespaço \ker(T-\lambda I).
Passo 2
Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}. Note que