1. Considere as bases \gamma=\{(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)\} do \mathbb{R}^{3} e \alpha=\{(1,0),(0,1)\} e \beta=\{(1,2),(0,1)\} do \mathbb{R}^{2}. Considere também as transformações lineares T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} e F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} tais que [T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & 2\end{array}\right) e F(x, y, z)=(4 x+y, x+z).
    a) (1,0 ponto) Determine [F]_{\alpha}^{\gamma}.
    b) ( 1,0 ponto) Determine (T \circ F)(x, y, z).
    c) ( 1,5 ponto) Mostre que T é um isomorfismo e determine T^{-1}(x, y).

Passo 1

O enunciado dá as bases
\gamma=\{v_{1}=(1,0,1),\,v_{2}=(0,1,0),\,v_{3}=(0,0,1)\} em \mathbb{R}^{3},
\alpha=\{e_{1}=(1,0),\,e_{2}=(0,1)\} e \beta=\{b_{1}=(1,2),\,b_{2}=(0,1)\} em \mathbb{R}^{2}.
Temos F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
F(x,y,z)=(4x+y,\;x+z)
e T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} com matriz de transformação
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&2\end{pmatrix}.
Precisamos de
a) [F]_{\alpha}^{\gamma},
b) a fórmula de (T\circ F)(x,y,z),
c) mostrar que T é isomorfismo e achar T^{-1}(x,y).

Passo 2

Para achar [F]_{\alpha}^{\gamma}, aplicamos F a cada vetor de \gamma e escrevemos o resultado em coordenadas da base \alpha (que é a base canônica).
F(v_{1})=F(1,0,1)=(4\cdot1+0,\;1+1)=(4,2), coordenadas \,(4,2).
F(v_{2})=F(0,1,0)=(0+1,\;0+0)=(1,0), coordenadas \,(1,0).
F(v_{3})=F(0,0,1)=(0+0,\;0+1)=(0,1), coordenadas \,(0,1).
Logo
[F]_{\alpha}^{\gamma} =\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para (T\circ F)(x,y,z), primeiro F(x,y,z)=(u,v) com
u=4x+y,\quad v=x+z.
Agora, para aplicar T, precisamos as coordenadas de (u,v) na base \beta. Se
(u,v)=c_{1}(1,2)+c_{2}(0,1) então
u=c_{1},\quad v=2c_{1}+c_{2}\;\Longrightarrow\;c_{1}=u,\;c_{2}=v-2u.
O vetor de coordenadas de entrada em \beta é \begin{pmatrix}u\v-2u\end{pmatrix}.
Aplicando a matriz de T:
[T]_{\beta}^{\alpha}\begin{pmatrix}u\v-2u\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\v-2u\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}v-2u\\\ -u+2(v-2u)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}v-2u\\\ 2v-5u\end{pmatrix}.
Voltando a (x,y,z):
v-2u=(x+z)-2(4x+y)=-7x-2y+z,\quad 2v-5u=2(x+z)-5(4x+y)=-18x-5y+2z.
Portanto
(T\circ F)(x,y,z)=\bigl(-7x-2y+z,\;-18x-5y+2z\bigr).

Passo 4

Para ver que T é isomorfismo, basta notar que
\det([T]_{\beta}^{\alpha})=0\cdot2-1\cdot(-1)=1\neq0.
Logo T é invertível.

Passo 5

Para achar T^{-1}, invertemos a matriz
\,A=[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&2\end{pmatrix}.
Como \det A=1,
A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Dado (x,y) em \alpha, suas coordenadas em \alpha são \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
As coordenadas em \beta do vetor pré-imagem são
\begin{pmatrix}c_{1}\c_{2}\end{pmatrix} =A^{-1}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x-y\x\end{pmatrix}.
Então
T^{-1}(x,y) =c_{1}\,(1,2)+c_{2}\,(0,1) =\bigl(2x-y,\;2(2x-y)+x\bigr) =\bigl(2x-y,\;5x-2y\bigr).

Resposta

a) [F]_{\alpha}^{\gamma}=\begin{pmatrix}4&1&0\\\ 2&0&1\end{pmatrix}.
b) (T\circ F)(x,y,z)=(-7x-2y+z,\;-18x-5y+2z).
c) \det([T]_{\beta}^{\alpha})=1\neq0, logo T é um isomorfismo, e
T^{-1}(x,y)=(2x-y,\;5x-2y).

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