1. (2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
    a) (\quad) S: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow M_{2}(\mathbb{R}), definida por S(x, y)=\left(\begin{array}{cc}x & 0 \\\ y^{2} & x y\end{array}\right), é uma transformação linear.
    b) ( ) u=(1,1,2) é um autovetor do operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definido por T(x, y, z)=(x+y+z, 4 x, 2 y+3 z).

Passo 1

O enunciado pede em (a) verificar se
S\colon\mathbb{R}^2\to M_2(\mathbb{R}),\quad S(x,y)=\begin{pmatrix}x&0\y^2&xy\end{pmatrix}
é linear, e em (b) checar se o vetor u=(1,1,2) satisfaz
T(u)=\lambda\,u
para o operador linear
T(x,y,z)=(x+y+z,\;4x,\;2y+3z).
Vamos usar a definição de transformação linear (adi­tivida­de e homogeneidade) e a de autovetor.

Passo 2

Para ser linear, S deve preservar soma. Considere (x_1,y_1)=(1,1) e (x_2,y_2)=(1,1). Então
S((1,1)+(1,1))=S(2,2)=\begin{pmatrix}2&0\\\ 4&4\end{pmatrix}
porém
S(1,1)+S(1,1)=2\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&0\\\ 2&2\end{pmatrix}.
Como
\begin{pmatrix}2&0\\\ 4&4\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}2&0\\\ 2&2\end{pmatrix},
S não conserva aditividade e, portanto, não é linear.

Passo 3

Para ver se u é autovetor de T, calculamos
T(1,1,2)=(1+1+2,\;4\cdot1,\;2\cdot1+3\cdot2)=(4,4,8).
Buscamos \lambda tal que
(4,4,8)=\lambda\,(1,1,2)=(\lambda,\lambda,2\lambda).
Da primeira coordenada vem \lambda=4 e da terceira 2\lambda=8\Rightarrow\lambda=4, consistente. Logo u é autovetor associado a \lambda=4.

Resposta

a) F
b) V

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