Considere a transformação linear S: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow M_{2}(\mathbb{R}) definida por
S(a, b, c)=\left(\begin{array}{cc} 3 a-b & 0 \\\ b+c & 3 a+c \end{array}\right) .
a) ( 1,5 ponto) Determine o núcleo de S e a dimensão da imagem de S.
b) ( 0,5 ponto) S é injetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação linear
S\colon \mathbb{R}^{3}\to M_{2}(\mathbb{R}),\quad S(a,b,c)=\begin{pmatrix}3a-b & 0\b+c & 3a+c\end{pmatrix},
e pede (a) o núcleo de S e a dimensão da imagem de S, e (b) verificar se S é injetora. Vamos usar os conceitos de núcleo, dimensão de imagem (teorema núcleo-imagem) e injeção de transformações lineares.

Passo 2

Para achar o núcleo resolvemos
S(a,b,c)=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \iff \begin{cases} 3a - b = 0,\\\ b + c = 0,\\\\ 3a + c = 0. \end{cases}
Da primeira equação segue b=3a. Da segunda, c=-b=-3a. Substituindo na terceira tem-se
3a +(-3a)=0,
que é sempre verdadeira. Logo
\ker S = \{(a,3a,-3a)\mid a\in\mathbb{R}\} =\text{span}\{(1,3,-3)\},
e a dimensão de \ker S é 1.

Passo 3

Pelo teorema núcleo-imagem temos
\dim\ker S + \dim\operatorname{Im}S = \dim\mathbb{R}^3 = 3.
Como \dim\ker S=1, segue
\dim\operatorname{Im}S = 3-1 = 2.

Passo 4

Uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo for \{0\}. Aqui \ker S contém todos os vetores (a,3a,-3a), não se reduzindo ao zero isolado. Portanto
\ker S \neq \{(0,0,0)\} \quad\implies\quad S\text{ não é injetora}.ãé

Resposta

a) \ker S = \{(a,3a,-3a)\mid a\in\mathbb{R}\} com \dim\ker S=1, e \dim\operatorname{Im}S=2.
b) S não é injetora, pois \ker S\neq\{0\}.

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