Considere as bases X=x1, x2, x3 e Y=y1, y2, y3 de R^3.
I. Determine as matrizes de transição PX Y e PY X responsáveis pelas mudanças de bases entre os vetores de coordenadas de X e de Y.
II. Dado o vetor r, obtenha o vetor de coordenadas (r)X e utilize a matriz de transição apropriada para determinar o vetor de coordenadas (r)Y.
A distribuição das bases X e Y e do vetor r para cada aluno está disposta na TABELA II.
BRUNA EDUARDA ANTONIOLLI
r=(1,-3,3)
x1=(4,-5,3) y1=(5,3,2)
llx2=(0,2,-4) & y2=(3,-5,1) x3=(1,-3,3) & =(-1,-5,4)
x3=(1,-3,3) y3=(-1,-5,4)

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3,
X=x1,x2,x3, Y=y1,y2,y3,
com
x1=(4,-5,3), x2=(0,2,-4), x3=(1,-3,3),
y1=(5,3,2), y2=(3,-5,1), y3=(-1,-5,4),
e o vetor r=(1,-3,3).
Precisamos de (I) as matrizes de transição PXto Y e PYto X e (II) as coordenadas de r nessas bases.

Passo 2

Para achar PXto Y usamos a definição
PXto Y = SY^-1SX,
onde SX tem colunas xi e SY tem colunas yi. Em vez de inverter diretamente, resolvemos
SY,alpha^(i)=xi,
para cada i, e as alpha^(i) formam as colunas de PXto Y. Fazendo os sistemas, obtém-se
PXto Y= 514 & -2777 & 977[6pt] 67 & 2277 & 1177[6pt] 514 & -6977 & 177 ]

Passo 3

Para PYto X=SX^-1SY resolvemos
SX,beta^(j)=yj
para cada j. Os vetores beta^(j) são as colunas de PYto X. O cálculo leva a
PYto X= 235 & 0 & -95[4pt] -7110 & 2 & 2310[4pt] -675 & 3 & 315 ,
que é de fato a inversa de PXto Y.]

Passo 4

Para achar as coordenadas de r na base X, resolvemos
SX,gamma = 1-33
O sistema dá gamma=(0,0,1), ou seja
(r)X = 001

Passo 5

Finalmente encontramos as coordenadas de r em Y aplicando
(r)Y = PXto Y,(r)X
Como (r)X=(0,0,1), vem
(r)Y = 977[3pt] 1177[3pt] 177 ]

Resposta

I.
PXto Y= 514 & -2777 & 977[6pt] 67 & 2277 & 1177[6pt] 514 & -6977 & 177 , PYto X= 235 & 0 & -95[4pt] -7110 & 2 & 2310[4pt] -675 & 3 & 315
II.
(r)X = 001, (r)Y = 977[3pt]1177[3pt]177 ]

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