Prova 3
Seja a matriz
Encontre uma matriz
P que diagonaliza
A ortogonalmente e determine
P^-1 A P .
Seja a matriz
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz simétrica
e pede uma diagonalização ortogonal, ou seja, encontrar uma matriz orthogonal
P (com
P^-1=P^T ) tal que
seja diagonal. Para isso vamos calcular os autovalores de
A , depois os autovetores, ortonormalizá-los e montar
P .
Passo 2
Calcular o polinômio característico de
A :
As raízes de
lambda^2 - 9lambda + 14 = 0 são
logo
Passo 3
Para cada autovalor achamos um autovetor:
. Se
, resolvemos
daí
, escolhemos
. Se
, resolvemos
daí
, escolhemos
Passo 4
Ortonormalizar os vetores escolhendo
As normas são
|v1| = raiz(-2)^2+1^2=raiz5 e
|v2|=raiz1^2+2^2=raiz5 . Logo os vetores unitários são
que são ortogonais entre si.
Passo 5
Montamos a matriz ortogonal
P cujas colunas são
u1 e
u2 :
Como
P é ortogonal, temos
P^-1=P^T . Então
Resposta
A matriz ortogonal que diagonaliza
A é
e