Prova 3
Seja a matriz
A=[cc 6 & -2 -2 & 3 ]
Encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P^-1 A P.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz simétrica
A = 6 & -2 -2 & 3
e pede uma diagonalização ortogonal, ou seja, encontrar uma matriz orthogonal P (com P^-1=P^T) tal que
P^-1 A P = P^T A P
seja diagonal. Para isso vamos calcular os autovalores de A, depois os autovetores, ortonormalizá-los e montar P.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det6-lambda & -2 -2 & 3-lambda = (6-lambda)(3-lambda) - (-2)(-2) = lambda^2 - 9lambda + 14
As raízes de lambda^2 - 9lambda + 14 = 0 são
lambda = 9 pm raiz81 - 562 = 9 pm 52,
logo
lambda1 = 7, lambda2 = 2

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor:
. Se , resolvemos
daí , escolhemos . Se , resolvemos
daí , escolhemos

Passo 4

Ortonormalizar os vetores escolhendo
v1 = -21, v2 = 12
As normas são |v1| = raiz(-2)^2+1^2=raiz5 e |v2|=raiz1^2+2^2=raiz5. Logo os vetores unitários são
u1 = 1raiz5-21, u2 = 1raiz512,
que são ortogonais entre si.

Passo 5

Montamos a matriz ortogonal P cujas colunas são u1 e u2:
P = -2raiz5 & 1raiz5[6pt] 1raiz5 & 2raiz5
Como P é ortogonal, temos P^-1=P^T. Então
P^-1 A P = P^T A P = 7 & 0 0 & 2 ]

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza A é
P = -2raiz5 & 1raiz5[6pt] 1raiz5 & 2raiz5 ,
e
P^-1 A P = 7 & 0 0 & 2 ]

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