Prova 3
Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por
T(x, y)=(4 x-2 y, 5 x-3 y)
Determine se I tem uma inversa; se tiver, encontre T^-1(x, y).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^2toR^2 definido por
T(x,y) = (4x-2y,;5x-3y)
e pede para verificar se T é invertível e, em caso afirmativo, achar T^-1(x,y). Vamos usar matriz associada e determinante para decidir invertibilidade e depois calcular a inversa.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base padrão:
A = 4 & -2 5 & -3
O determinante de A é
det(A) = 4cdot(-3) - (-2)cdot5 = -12 - (-10) = -2
Como det(A)neq0, T é invertível.

Passo 3

A inversa de uma matriz é
Aplicando a com , , , e , obtemos

Passo 4

Como , segue
]

Resposta

Sim, T é invertível, e
T^-1(x,y)=l(tfrac32x - y,;tfrac52x -2yr)

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