(1 pt) Considere as bases \mathcal{B}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} e \mathcal{C}=\left\{\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}, \vec{w}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, relacionadas da seguinte forma:
\left\{\begin{array}{l} \vec{w}_{1}=\vec{v}_{1}+2 \vec{v}_{2}+\vec{v}_{3} \\\ \vec{w}_{2}=2 \vec{v}_{1}+3 \vec{v}_{2}+4 \vec{v}_{3} \\\ \vec{w}_{3}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{3} \end{array}\right.
Pede-se:
(a) Determine a matriz de mudança de base [M]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}.
(b) Determine a matriz de mudança de base [M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.
(c) Sabendo que [\vec{v}]_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], escreva o vetor \vec{v} como combinação linear dos vetores da base \mathcal{C}.
(d) Encontre [\vec{v}]_{\mathcal{B}}, onde [\vec{v}]_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right].
(e) Encontre [\vec{v}]_{\mathcal{C}}, onde [\vec{v}]_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right].
(f) Se v=2 v_{1}-v_{2}+3 v_{3}, determine a matriz das coordenadas de v em relação à base \mathcal{C}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3,
\mathcal{B}=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} e \mathcal{C}=\{\vec w_1,\vec w_2,\vec w_3\},
e relaciona cada \vec w_i como combinação linear de \mathcal{B}:
\vec w_1 = \vec v_1 + 2\vec v_2 + \vec v_3,\quad \vec w_2 = 2\vec v_1 + 3\vec v_2 +4\vec v_3,\quad \vec w_3 = \vec v_2 - \vec v_3.
O conteúdo é mudança de base em espaços vetoriais: para (a) montamos a matriz que leva coordenadas em \mathcal{C} para coordenadas em \mathcal{B}; em (b) tomamos sua inversa; em (c)–(f) aplicamos essas matrizes a vetores dados.

Passo 2

Para encontrar [M]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} (que envia [\vec x]_{\mathcal{C}} em [\vec x]_{\mathcal{B}}), colocamos como colunas as coordenadas de \vec w_1,\vec w_2,\vec w_3 na base \mathcal{B}:
[M]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} =\bigl[\,\bigl[\vec w_1\bigr]_{\mathcal{B}}\;\bigl[\vec w_2\bigr]_{\mathcal{B}}\;\bigl[\vec w_3\bigr]_{\mathcal{B}}\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 1 & 4 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para [M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\bigl([M]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\bigr)^{-1}, calculamos a inversa de
\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&2&0\\\ 2&3&1\\\ 1&4&-1\end{pmatrix}.
O determinante é \det M=-1. O adjunto transposto é
\displaystyle\mathrm{adj}(M)=\begin{pmatrix}-7&2&2\\\ 3&-1&-1\\\ 5&-2&-1\end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix}-7&3&5\\\ 2&-1&-2\\\ 2&-1&-1\end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix}-7&2&2\\\ 3&-1&-1\\\ 5&-2&-1\end{pmatrix}.
Logo
[M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} =M^{-1} =\frac{1}{\det M}\,\mathrm{adj}(M) =-\begin{pmatrix}-7&2&2\\\ 3&-1&-1\\\ 5&-2&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 7 & -2 & -2\\\\ -3 & 1 & 1\\\\ -5 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

(c) Para [\vec v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, queremos [\vec v]_{\mathcal{C}}. Usamos
[\vec v]_{\mathcal{C}} =M^{-1}\,[\vec v]_{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 7 & -2 & -2\\\\ -3 & 1 & 1\\\\ -5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 7-4-6\\\\ -3+2+3\\\\ -5+4+3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 5

(d) Para [\vec v]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, calculamos
[\vec v]_{\mathcal{B}} =M\,[\vec v]_{\mathcal{C}} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 1 & 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1+4+0\\\\ -2+6+3\\\\ -1+8-3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 6

(e) Para [\vec v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, obtemos
[\vec v]_{\mathcal{C}} =M^{-1}\,[\vec v]_{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 7 & -2 & -2\\\\ -3 & 1 & 1\\\\ -5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -7-4-6\\\\ 3+2+3\\\\ 5+4+3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-17\\\ 8\\\ 12\end{pmatrix}.

Passo 7

(f) Para v=2\vec v_1 -\vec v_2 +3\vec v_3, temos [\vec v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}. Então
[\vec v]_{\mathcal{C}} =M^{-1}\,[\vec v]_{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 7 & -2 & -2\\\\ -3 & 1 & 1\\\\ -5 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 14+2-6\\\\ -6-1+3\\\\ -10-2+3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}10\\\ -4\\\ -9\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle [M]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} =\begin{pmatrix}1&2&0\\\ 2&3&1\\\ 1&4&-1\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle [M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix}7&-2&-2\\\ -3&1&1\\\ -5&2&1\end{pmatrix}.
(c) [\vec v]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}-3\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.
(d) [\vec v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ 4\end{pmatrix}.
(e) [\vec v]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}-17\\\ 8\\\ 12\end{pmatrix}.
(f) [\vec v]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}10\\\ -4\\\ -9\end{pmatrix}.

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