(1 pt) Considere as bases \mathcal{B}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} e \mathcal{C}=\left\{\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}, \vec{w}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, relacionadas da seguinte forma:
Pede-se:
(a) Determine a matriz de mudança de base [M]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}.
(b) Determine a matriz de mudança de base [M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.
(c) Sabendo que [\vec{v}]_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], escreva o vetor \vec{v} como combinação linear dos vetores da base \mathcal{C}.
(d) Encontre [\vec{v}]_{\mathcal{B}}, onde [\vec{v}]_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right].
(e) Encontre [\vec{v}]_{\mathcal{C}}, onde [\vec{v}]_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right].
(f) Se v=2 v_{1}-v_{2}+3 v_{3}, determine a matriz das coordenadas de v em relação à base \mathcal{C}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3, \mathcal{B}=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} e \mathcal{C}=\{\vec w_1,\vec w_2,\vec w_3\},
e relaciona cada \vec w_i como combinação linear de \mathcal{B}:
O conteúdo é mudança de base em espaços vetoriais: para (a) montamos a matriz que leva coordenadas em \mathcal{C} para coordenadas em \mathcal{B}; em (b) tomamos sua inversa; em (c)–(f) aplicamos essas matrizes a vetores dados.
Passo 2
Para encontrar [M]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} (que envia [\vec x]_{\mathcal{C}} em [\vec x]_{\mathcal{B}}), colocamos como colunas as coordenadas de \vec w_1,\vec w_2,\vec w_3 na base \mathcal{B}:
Para [M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\bigl([M]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\bigr)^{-1}, calculamos a inversa de \displaystyle M=\begin{pmatrix}1&2&0\\\ 2&3&1\\\ 1&4&-1\end{pmatrix}.
O determinante é \det M=-1. O adjunto transposto é \displaystyle\mathrm{adj}(M)=\begin{pmatrix}-7&2&2\\\ 3&-1&-1\\\ 5&-2&-1\end{pmatrix}^T
=\begin{pmatrix}-7&3&5\\\ 2&-1&-2\\\ 2&-1&-1\end{pmatrix}^T
=\begin{pmatrix}-7&2&2\\\ 3&-1&-1\\\ 5&-2&-1\end{pmatrix}.
Logo