(1 pt) Seja \mathcal{B}=\{(1,1,1),(1,2,0),(3,1,0)\} uma base de \mathbb{R}^{3}. Determine:
(a) a matriz das coordenadas do vetor \vec{v}_{1}=(1,-2,5) em relação à \mathcal{B};
(b) o vetor \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\boldsymbol{2}}, sabendo que a matriz das coordenadas de \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\boldsymbol{2}} em relação à base \mathcal{B} é dada por:
\left[\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{2}\right]_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right] ;
(c) a matriz das coordenadas do vetor genérico \vec{v}=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, em relação a base \mathcal{B}.

Passo 1

O enunciado fornece a base
\mathcal{B} = \{b_{1}=(1,1,1),\,b_{2}=(1,2,0),\,b_{3}=(3,1,0)\} de \mathbb{R}^{3} e pede:
(a) as coordenadas de \vec v_{1}=(1,-2,5) em relação a \mathcal{B};
(b) o vetor \vec v_{2} sabendo que [\vec v_{2}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix};
(c) as coordenadas de um vetor genérico \vec v=(x,y,z) em relação a \mathcal{B}.
Para tudo isso vamos montar sistemas lineares do tipo
c_{1}\,b_{1}+c_{2}\,b_{2}+c_{3}\,b_{3} = \text{vetor dado},
e resolver para (c_{1},c_{2},c_{3}).

Passo 2

Para (a), achamos (c_{1},c_{2},c_{3})\) tal que \[c_{1}(1,1,1)+c_{2}(1,2,0)+c_{3}(3,1,0) = (1,-2,5).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{2}+3c_{3} = 1,\\\ c_{1}+2c_{2}+c_{3} = -2,\\\ c_{1} = 5. \end{cases}
Da terceira equação vem (c_{1}=5]. Substituindo nas duas primeiras:
\begin{cases} 5 + c_{2}+3c_{3} = 1 \;\Rightarrow\; c_{2}+3c_{3}=-4,\\\\ 5 +2c_{2}+c_{3} = -2 \;\Rightarrow\; 2c_{2}+c_{3}=-7. \end{cases}
Resolvendo, encontra-se
c_{3}=-\tfrac{1}{5},\quad c_{2}=-\tfrac{17}{5}.
Logo
[\vec v_{1}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}5\\[4pt]-\tfrac{17}{5}\\[4pt]-\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para (b), sabemos
\displaystyle [\vec v_{2}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix},
isto é \vec v_{2} = -1\,b_{1} +(-1)\,b_{2} +2\,b_{3}. Portanto,
\vec v_{2} = -\,(1,1,1)\;-\,(1,2,0)\;+\;2\,(3,1,0) = ( -1-1+6,\;-1-2+2,\;-1-0+0 ) = (4,\,-1,\,-1).

Passo 4

Para (c), resolvemos genericamente
c_{1}(1,1,1)+c_{2}(1,2,0)+c_{3}(3,1,0) = (x,y,z).
As equações são
\begin{cases} c_{1}+c_{2}+3c_{3} = x,\\\ c_{1}+2c_{2}+c_{3} = y,\\\ c_{1} = z. \end{cases}
Da última vem c_{1}=z\). Substituindo nas duas primeiras: \[\begin{cases} z + c_{2}+3c_{3} = x,\\\ z +2c_{2}+c_{3} = y, \end{cases}
que se reduz a
\begin{cases} c_{2}+3c_{3} = x - z,\\\\ 2c_{2}+c_{3} = y - z. \end{cases}
Resolvendo, obtemos
c_{3} = \frac{2x - y - z}{5},\quad c_{2} = \frac{-x +3y -2z}{5}.
Portanto as coordenadas de \vec v=(x,y,z)\] em \(\mathcal{B} são
[\vec v]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} z\\[4pt] \tfrac{-x +3y -2z}{5}\\[4pt] \tfrac{2x - y - z}{5} \end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \displaystyle[\vec v_{1}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}5\\[3pt]-\tfrac{17}{5}\\[3pt]-\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.\n
(b) \displaystyle \vec v_{2}=(4,-1,-1).\n
(c) \displaystyle [\vec v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} z\\[3pt] \tfrac{-x+3y-2z}{5}\\[3pt] \tfrac{2x-y-z}{5} \end{pmatrix}.]

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