(1 pt) Seja \mathcal{B}=\{(1,1,1),(1,2,0),(3,1,0)\} uma base de \mathbb{R}^{3}. Determine:
(a) a matriz das coordenadas do vetor \vec{v}_{1}=(1,-2,5) em relação à \mathcal{B};
(b) o vetor \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\boldsymbol{2}}, sabendo que a matriz das coordenadas de \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\boldsymbol{2}} em relação à base \mathcal{B} é dada por:
(c) a matriz das coordenadas do vetor genérico \vec{v}=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, em relação a base \mathcal{B}.
Passo 1
O enunciado fornece a base \mathcal{B} = \{b_{1}=(1,1,1),\,b_{2}=(1,2,0),\,b_{3}=(3,1,0)\} de \mathbb{R}^{3} e pede:
(a) as coordenadas de \vec v_{1}=(1,-2,5) em relação a \mathcal{B};
(b) o vetor \vec v_{2} sabendo que [\vec v_{2}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix};
(c) as coordenadas de um vetor genérico \vec v=(x,y,z) em relação a \mathcal{B}.
Para tudo isso vamos montar sistemas lineares do tipo