(1 pt) Considere A=\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\\\ 3 & 1\end{array}\right].
(a) Determine os autovalores de A.
(b) Determine, para cada autovalor \lambda, o autoespaço V(\lambda) e suas dimensão.
(c) Encontre uma base \mathcal{B} de R^{2} constituída de autovetores de A.
(d) Encontre a matriz mudança da base [M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} em que \mathcal{B} é a base encontrada no item (c) e \mathcal{C} a base canônica de \mathbb{R}^{2}.
(e) Mostre que A é diagonalizável e P=[M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} é uma matriz tal que P^{-1} A P=D.
(f) Calcule A^{6}, utilizando o item (e).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\[0.3em] 3 & 1\end{pmatrix}
e pede:
(a) os autovalores de A;
(b) para cada autovalor \lambda, o autoespaço V(\lambda) e sua dimensão;
(c) uma base \mathcal B de \mathbb R^2 formada por autovetores de A;
(d) a matriz de mudança de base [M]_{\mathcal C}^{\mathcal B}, onde \mathcal C é a base canônica;
(e) mostrar que A é diagonalizável e que P=[M]_{\mathcal C}^{\mathcal B} satisfaz P^{-1}AP=D;
(f) calcular A^6 usando essa diagonalização.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
\det(A-\lambda I)= \begin{vmatrix} 2-\lambda & 4 \\[0.3em] 3 & 1-\lambda \end{vmatrix} =(2-\lambda)(1-\lambda)-12 =\lambda^2-3\lambda-10.
Resolvendo \lambda^2-3\lambda-10=0 obtemos
\lambda = \frac{3\pm\sqrt{9+40}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 = 5,\; \lambda_2 = -2.]

Passo 3

Para \lambda_1=5:
A-5I = \begin{pmatrix}-3 & 4 \\[0.3em] 3 & -4\end{pmatrix},
da equação -3x+4y=0 vem y=\tfrac34x.
Logo
V(5)=\ker(A-5I)=\mathrm{span}\{(4,3)\}, \quad \dim V(5)=1.
Para \lambda_2=-2:
A+2I = \begin{pmatrix}4 & 4 \\[0.3em] 3 & 3\end{pmatrix},
da equação 4x+4y=0 vem y=-x.
Logo
V(-2)=\ker(A+2I)=\mathrm{span}\{(1,-1)\}, \quad \dim V(-2)=1.]

Passo 4

Tomamos como base de autovetores
\mathcal B = \bigl\{\,v_1=(4,3),\;v_2=(1,-1)\bigr\},
onde v_1\in V(5) e v_2\in V(-2).

Passo 5

A matriz de mudança de base de \mathcal C (canônica) para \mathcal B tem colunas dadas pelas coordenadas de v_1 e v_2 na base canônica:
P = [M]_{\mathcal C}^{\mathcal B} = \begin{pmatrix}4 & 1 \\[0.3em] 3 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Visto que \det P = 4\cdot(-1)-1\cdot3 = -7\neq0, P é invertível e A é diagonalizável. Definindo
D = \begin{pmatrix}5 & 0 \\[0.3em] 0 & -2\end{pmatrix},
obtém-se
P^{-1} A P = D.]

Passo 7

Para calcular A^6, usamos
A^6 = P\,D^6\,P^{-1}, \quad D^6 = \begin{pmatrix}5^6 & 0 \\[0.3em] 0 & (-2)^6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15625 & 0 \\[0.3em] 0 & 64\end{pmatrix}.
Fazendo a conta resulta
A^6 = \begin{pmatrix}8956 & 8892 \\[0.3em] 6669 & 6733\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \{5,\,-2\}.
(b) V(5)=\mathrm{span}\{(4,3)\}, \dim=1; V(-2)=\mathrm{span}\{(1,-1)\}, \dim=1.
(c) \mathcal B=\{(4,3),(1,-1)\}.
(d) P=[M]_{\mathcal C}^{\mathcal B}=\begin{pmatrix}4&1\\\ 3&-1\end{pmatrix}.
(e) P^{-1}AP=\mathrm{diag}(5,-2), logo A é diagonalizável.
(f) A^6=\begin{pmatrix}8956&8892\\\ 6669&6733\end{pmatrix}.

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