(1 pt) Considere A=\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\\\ 3 & 1\end{array}\right].
(a) Determine os autovalores de A.
(b) Determine, para cada autovalor \lambda, o autoespaço V(\lambda) e suas dimensão.
(c) Encontre uma base \mathcal{B} de R^{2} constituída de autovetores de A.
(d) Encontre a matriz mudança da base [M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} em que \mathcal{B} é a base encontrada no item (c) e \mathcal{C} a base canônica de \mathbb{R}^{2}.
(e) Mostre que A é diagonalizável e P=[M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} é uma matriz tal que P^{-1} A P=D.
(f) Calcule A^{6}, utilizando o item (e).
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\[0.3em] 3 & 1\end{pmatrix}
e pede:
(a) os autovalores de A;
(b) para cada autovalor \lambda, o autoespaço V(\lambda) e sua dimensão;
(c) uma base \mathcal B de \mathbb R^2 formada por autovetores de A;
(d) a matriz de mudança de base [M]_{\mathcal C}^{\mathcal B}, onde \mathcal C é a base canônica;
(e) mostrar que A é diagonalizável e que P=[M]_{\mathcal C}^{\mathcal B} satisfaz P^{-1}AP=D;
(f) calcular A^6 usando essa diagonalização.]