(1 pt) Considere a matriz A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 2 & 0 \\\\ -6 & -5 & 0 \\\\ -4 & -4 & 1\end{array}\right]. Pede-se:
(a) Mostre, por definição, que o vetor \vec{v}=(1,-3,-2) é um autovetor de A.
(b) Mostre que \lambda_{1}=-3 e \lambda_{2}=1 são os únicos autovalores da matriz A.
(c) Determine, para cada autovalor \lambda, o autoespaço V(\lambda) e sua dimensão.
(d) Encontre uma base \mathcal{B} de R^{3} constituída de autovetores de A.
(e) Encontre a matriz mudança da base [M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} em que \mathcal{B} é a base encontrada no item (c) e \mathcal{C} a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
(f) Mostre que A é diagonalizável e P=[M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} é uma matriz tal que P^{-1} A P=D.
(g) Calcule A^{10}, utilizando o item (f).
e pede (a) mostrar que \vec v=(1,-3,-2) é autovetor, (b) encontrar todos os autovalores, (c) para cada autovalor achar o autoespaço V(\lambda) e sua dimensão, (d) montar uma base \mathcal B de \mathbb R^3 só com autovetores, (e) achar a matriz de mudança de base [\!M\!]_{\mathcal C}^{\mathcal B} da base canônica \mathcal C para \mathcal B, (f) mostrar que A é diagonalizável e que a matriz P=[\!M\!]_{\mathcal C}^{\mathcal B} satisfaz P^{-1}AP=D, e (g) usar isso para calcular A^{10}. Vamos precisar de conceitos de autovalores, autoespaços e diagonalização de matrizes.
Passo 2
(a) Para mostrar que \vec v=(1,-3,-2) é autovetor, calculamos A\vec v e vemos se é um múltiplo de \vec v.
(a) A\vec v=-3\,\vec v, logo \vec v é autovetor com \lambda=-3.
(b) Os únicos autovalores são -3 e 1.
(c) V(-3)=\span\{(1,-3,-2)\}, \dim=1; \;V(1)=\span\{(1,-1,0),(0,0,1)\}, \dim=2.
(d) \mathcal B=\{(1,-3,-2),(1,-1,0),(0,0,1)\}.
(e) P=[\!M\!]_{\mathcal C}^{\mathcal B}=\begin{pmatrix}1&1&0\\\ -3&-1&0\\\ -2&0&1\end{pmatrix}.
(f) P^{-1}AP=\diag(-3,1,1), logo A é diagonalizável.
(g) A^{10}=P\,\diag(59049,1,1)\,P^{-1}.