(1 pt) Considere a matriz A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 2 & 0 \\\\ -6 & -5 & 0 \\\\ -4 & -4 & 1\end{array}\right]. Pede-se:
(a) Mostre, por definição, que o vetor \vec{v}=(1,-3,-2) é um autovetor de A.
(b) Mostre que \lambda_{1}=-3 e \lambda_{2}=1 são os únicos autovalores da matriz A.
(c) Determine, para cada autovalor \lambda, o autoespaço V(\lambda) e sua dimensão.
(d) Encontre uma base \mathcal{B} de R^{3} constituída de autovetores de A.
(e) Encontre a matriz mudança da base [M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} em que \mathcal{B} é a base encontrada no item (c) e \mathcal{C} a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
(f) Mostre que A é diagonalizável e P=[M]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} é uma matriz tal que P^{-1} A P=D.
(g) Calcule A^{10}, utilizando o item (f).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\\\ -6 & -5 & 0\\\\ -4 & -4 & 1 \end{pmatrix}
e pede (a) mostrar que \vec v=(1,-3,-2) é autovetor, (b) encontrar todos os autovalores, (c) para cada autovalor achar o autoespaço V(\lambda) e sua dimensão, (d) montar uma base \mathcal B de \mathbb R^3 só com autovetores, (e) achar a matriz de mudança de base [\!M\!]_{\mathcal C}^{\mathcal B} da base canônica \mathcal C para \mathcal B, (f) mostrar que A é diagonalizável e que a matriz P=[\!M\!]_{\mathcal C}^{\mathcal B} satisfaz P^{-1}AP=D, e (g) usar isso para calcular A^{10}. Vamos precisar de conceitos de autovalores, autoespaços e diagonalização de matrizes.

Passo 2

(a) Para mostrar que \vec v=(1,-3,-2) é autovetor, calculamos A\vec v e vemos se é um múltiplo de \vec v.
A\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot1+2\cdot(-3)+0\cdot(-2)\\\\ -6\cdot1-5\cdot(-3)+0\cdot(-2)\\\\ -4\cdot1-4\cdot(-3)+1\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\\ 9\\\ 6\end{pmatrix} = -3\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ -2\end{pmatrix}.
Logo A\vec v=-3\,\vec v, isto é, \vec v é autovetor de A associado a \lambda=-3.

Passo 3

(b) Os autovalores são raízes de \det(A-\lambda I)=0.
\det(A-\lambda I) =\det \begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 & 0\\\\ -6 & -5-\lambda & 0\\\\ -4 & -4 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)\det \begin{pmatrix} 3-\lambda & 2\\\\ -6 & -5-\lambda \end{pmatrix}.
Calculando a 2\times2:
(3-\lambda)(-5-\lambda)-(-6)\cdot2 =\lambda^2+2\lambda-3 =(\lambda+3)(\lambda-1).
Assim
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda+3)(\lambda-1),
cujo zeros são \lambda=-3 e \lambda=1. São os únicos autovalores (com multiplicidade algébrica de 1 e 2, respectivamente).

Passo 4

(c) Para \lambda=-3 resolvemos (A+3I)x=0:
\begin{pmatrix} 6 & 2 & 0\\\\ -6 & -2 & 0\\\\ -4 & -4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; y=-3x,\;z=-2x.
Logo
V(-3)=\operatorname{span}\{(1,-3,-2)\},\quad\dim V(-3)=1.
Para \lambda=1 resolvemos (A-I)u=0:
\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ -6 & -6 & 0\\\\ -4 & -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1\u_2\u_3\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; u_2=-u_1,\;u_3\text{ livre}.
Portanto
V(1)=\operatorname{span}\{(1,-1,0),(0,0,1)\},\quad\dim V(1)=2.

Passo 5

(d) Como \dim V(-3)+\dim V(1)=1+2=3, podemos escolher a base de autovetores
\mathcal B=\{\,v_1=(1,-3,-2),\;v_2=(1,-1,0),\;v_3=(0,0,1)\}.

Passo 6

(e) A matriz de mudança de base de \mathcal C (canônica) para \mathcal B tem colunas os vetores de \mathcal B:
P=[\!M\!]_{\mathcal C}^{\mathcal B} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -3 & -1 & 0\\\\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 7

(f) Pela construção, Av_i=\lambda_i v_i, logo AP=P D com
D=\operatorname{diag}(-3,1,1).
Como P é formada por vetores linearmente independentes, P é invertível e
P^{-1}AP=D.
Isto mostra que A é diagonalizável.

Passo 8

(g) Usando A=PDP^{-1}, obtemos
A^{10}=P\,D^{10}\,P^{-1},
e como D^{10}=\operatorname{diag}((-3)^{10},1^{10},1^{10})=\operatorname{diag}(59049,1,1),
A^{10}=P\begin{pmatrix}59049&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}P^{-1}.

Resposta

(a) A\vec v=-3\,\vec v, logo \vec v é autovetor com \lambda=-3.
(b) Os únicos autovalores são -3 e 1.
(c) V(-3)=\span\{(1,-3,-2)\}, \dim=1;
\;V(1)=\span\{(1,-1,0),(0,0,1)\}, \dim=2.
(d) \mathcal B=\{(1,-3,-2),(1,-1,0),(0,0,1)\}.
(e) P=[\!M\!]_{\mathcal C}^{\mathcal B}=\begin{pmatrix}1&1&0\\\ -3&-1&0\\\ -2&0&1\end{pmatrix}.
(f) P^{-1}AP=\diag(-3,1,1), logo A é diagonalizável.
(g) A^{10}=P\,\diag(59049,1,1)\,P^{-1}.

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