(1 pt) Considere \mathcal{B}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} em que \vec{v}_{1}=(1,2,-1), \vec{v}_{2}=(3,0,4) e \vec{v}_{3}=(0,-1,1).
(a) Encontre a matriz mudança de base da base \mathcal{B} para a base canônica \mathcal{C} de \mathbb{R}^{3}.
(b) Encontre a matriz mudança de base da base canônica \mathcal{C} de \mathbb{R}^{3} para a base \mathcal{B}.
(c) Qual é a relação entre as matrizes encontradas no item (a) e (b)?
Passo 1
O enunciado dá uma base \mathcal{B}=\{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} de \mathbb{R}^3 com \vec v_{1}=(1,2,-1), \vec v_{2}=(3,0,4) e \vec v_{3}=(0,-1,1), e pede:
(a) a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para a base canônica \mathcal{C},
(b) a matriz de mudança de \mathcal{C} para \mathcal{B},
(c) a relação entre essas duas matrizes.
Para resolver, usamos a definição de mudança de base e depois calculamos a inversa.
Passo 2
A matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C}, que chamamos de P_{C\leftarrow B}, tem como colunas as coordenadas dos vetores de \mathcal{B} na base canônica. Logo,
Para obter a matriz de mudança de \mathcal{C} para \mathcal{B}, que chamamos de P_{B\leftarrow C}, basta inverter P_{C\leftarrow B}. Aplicando eliminação de Gauss–Jordan ou fórmula de adjunta, obtemos