(1 pt) Considere \mathcal{B}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} em que \vec{v}_{1}=(1,2,-1), \vec{v}_{2}=(3,0,4) e \vec{v}_{3}=(0,-1,1).
(a) Encontre a matriz mudança de base da base \mathcal{B} para a base canônica \mathcal{C} de \mathbb{R}^{3}.
(b) Encontre a matriz mudança de base da base canônica \mathcal{C} de \mathbb{R}^{3} para a base \mathcal{B}.
(c) Qual é a relação entre as matrizes encontradas no item (a) e (b)?

Passo 1

O enunciado dá uma base \mathcal{B}=\{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} de \mathbb{R}^3 com
\vec v_{1}=(1,2,-1), \vec v_{2}=(3,0,4) e \vec v_{3}=(0,-1,1), e pede:
  • (a) a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para a base canônica \mathcal{C},
  • (b) a matriz de mudança de \mathcal{C} para \mathcal{B},
  • (c) a relação entre essas duas matrizes.
    Para resolver, usamos a definição de mudança de base e depois calculamos a inversa.

Passo 2

A matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C}, que chamamos de P_{C\leftarrow B}, tem como colunas as coordenadas dos vetores de \mathcal{B} na base canônica. Logo,
P_{C\leftarrow B} =\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ 2 & 0 & -1\\\\ -1& 4 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter a matriz de mudança de \mathcal{C} para \mathcal{B}, que chamamos de P_{B\leftarrow C}, basta inverter P_{C\leftarrow B}. Aplicando eliminação de Gauss–Jordan ou fórmula de adjunta, obtemos
P_{B\leftarrow C} =\bigl(P_{C\leftarrow B}\bigr)^{-1} =\begin{pmatrix} 4 & -3 & -3\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 8 & -7 & -6 \end{pmatrix}.

Passo 4

A relação entre as matrizes é que cada uma é a inversa da outra. Em particular,
P_{B\leftarrow C}\,P_{C\leftarrow B}=I_{3} \quad\text{e}\quad P_{C\leftarrow B}\,P_{B\leftarrow C}=I_{3}.

Resposta

(a) P_{C\leftarrow B} =\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ 2 & 0 & -1\\\\ -1& 4 & 1 \end{pmatrix}.
(b) P_{B\leftarrow C} =\begin{pmatrix} 4 & -3 & -3\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 8 & -7 & -6 \end{pmatrix}.
(c) São matrizes inversas entre si.

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