Considere as bases B=(-1,1),(1,1) e C=u1, u2. A matriz de mudança da base B para a base C é dada por:
[I]B^C=[cc 1 & 2 3 & -2 ]
Determine a base C.

Passo 1

O enunciado dá a base
B=v1,v2, com
v1=(-1,1), v2=(1,1),
e diz que a matriz de mudança de coordenadas de B para uma outra base
C=u1,u2 é
[I]B^C = 1 & 2 [6pt]3 & -2
O que precisamos usar é que, para qualquer vetor x, suas coordenadas na base C satisfazem
[x]C = [I]B^C,[x]B
Em particular, tomando x=v1 e x=v2, as colunas de [I]B^C são justamente [v1]C e [v2]C.]

Passo 2

Das colunas de [I]B^C temos
[v1]C = 13, [v2]C = 2-2
Isto significa as relações no espaço geométrico:
v1 = 1cdot u1 ;+; 3cdot u2, v2 = 2cdot u1 ;-; 2cdot u2

Passo 3

Devemos agora resolver o sistema de vetores
v1 = u1 + 3,u2,[4pt] v2 = 2,u1 - 2,u2,
sabendo que v1=(-1,1) e v2=(1,1).]

Passo 4

Da segunda equação:
(1,1)=2,u1-2,u2 ;Longrightarrow; 2,u1=2,u2+(1,1) ;Longrightarrow; u1=u2+l(tfrac12,tfrac12r)
Substituindo na primeira:
(-1,1)=l(u2+(tfrac12,tfrac12)r)+3,u2 =4,u2+(tfrac12,tfrac12) ;Longrightarrow; 4,u2=(-1-tfrac12,;1-tfrac12)=(-tfrac32,tfrac12) ;Longrightarrow; u2=(-tfrac38,tfrac18)
Então
u1=u2+l(tfrac12,tfrac12r) =l(-tfrac38+tfrac48,;tfrac18+tfrac48r) =l(tfrac18,tfrac58r)

Resposta

A base C é
C = l,u1,,u2r com u1=l(tfrac18,tfrac58r), u2=l(-tfrac38,tfrac18r)

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