Considere o espaço vetorial R^2. Determine a matriz de mudança da base B=(-1,1),(1,1) para a base C=(-3,-1),(-1,3)

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de B=(-1,1),(1,1) para C=(-3,-1),(-1,3) em R^2. Para isso, vamos usar o fato de que cada vetor da base B deve ser escrito como combinação linear dos vetores de C, e essas coordenadas formam as colunas da matriz procurada.

Passo 2

Escrevemos
Isso gera o sistema
Da primeira equa\c{c}~ao temos (\beta=1-3\alpha]. Substituindo na segunda:
Portanto, em coordenadas da base ,
]

Passo 3

De modo an’alogo, escrevemos
o que d’a
Da primeira equa\c{c}~ao segue (\delta=-1-3\gamma]. Substituindo na segunda:
Logo,
]

Passo 4

A matriz de mudan\c{c}a de base de B para C, denotada PC B, tem como colunas as coordenadas de b1 e b2 em C:
PC B= tfrac15 & -tfrac25[6pt] tfrac25 & tfrac15 ]

Resposta

PC B = tfrac15 & -tfrac25[6pt] tfrac25 & tfrac15 ]

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