Dado o conjunto de vetores (1,2,1),(2,3,1),(3,5,2) no espaço R^3 :
Caso o conjunto seja linearmente dependente, retire um vetor para que o restante seja uma base para o subespaço gerado.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
v1=(1,2,1), v2=(2,3,1), v3=(3,5,2)
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Caso sejam, devemos remover um vetor de modo que os restantes formem uma base do subespaço gerado.

Passo 2

Para testar dependência linear, consideramos a combinação
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3=0
Observando coordenada a coordenada, notamos que
v1+v2=(1,2,1)+(2,3,1)=(3,5,2)=v3
Logo podemos escolher alpha1=1, alpha2=1 e alpha3=-1 para obter
1cdot v1+1cdot v2+(-1)cdot v3=0,
o que prova que v1,v2,v3 é linearmente dependente.

Passo 3

Como v3 é combinação de v1 e v2, basta retirar v3. Resta o conjunto v1,v2. Para verificar que ele é independente, notamos que não existe escalar lambda tal que
v2=lambda,v1,
pois comparar coordenadas daria lambda=2 pela primeira e lambda=3/2 pela segunda, contradição. Logo v1,v2 é linearmente independente e gera o mesmo subespaço de v1,v2,v3.

Resposta

Uma base para o subespaço gerado é
(1,2,1),,(2,3,1)

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