Dado o conjunto de vetores
no espaço
:
Determine a dimensão do subespaço gerado por esse conjunto.
Determine a dimensão do subespaço gerado por esse conjunto.
Passo 1
Temos o conjunto de vetores
no espaço
. A tarefa é achar a dimensão do subespaço
. Para isso, precisamos determinar quantos vetores desse conjunto são linearmente independentes.
Passo 2
Verificamos se algum vetor é combinação linear dos outros. Observamos que
ou seja,
Passo 3
Como
, o vetor
não adiciona nova direção ao subespaço gerado por
. Logo, basta verificar a independência de
.
Passo 4
Para checar se
e
são independentes, suponha que exista
tal que
isto é,
Isso exige simultaneamente
o que é impossível. Portanto
e
são linearmente independentes.
Passo 5
Já que há exatamente dois vetores independentes em
, concluímos que
Resposta
A dimensão do subespaço gerado pelo conjunto é
.