Dado o conjunto de vetores (1,2,1),(2,3,1),(3,5,2) no espaço R^3 :
Determine a dimensão do subespaço gerado por esse conjunto.

Passo 1

Temos o conjunto de vetores
v1 = (1,2,1), v2 = (2,3,1), v3 = (3,5,2)
no espaço R^3. A tarefa é achar a dimensão do subespaço W = spanv1,v2,v3. Para isso, precisamos determinar quantos vetores desse conjunto são linearmente independentes.

Passo 2

Verificamos se algum vetor é combinação linear dos outros. Observamos que
(1,2,1)+(2,3,1) = (3,5,2),
ou seja,
v1 + v2 = v3

Passo 3

Como v3 = v1+v2, o vetor v3 não adiciona nova direção ao subespaço gerado por v1,v2. Logo, basta verificar a independência de v1,v2.

Passo 4

Para checar se v1 e v2 são independentes, suponha que exista lambdainR tal que
v2 = lambda,v1,
isto é,
(2,3,1) = lambda,(1,2,1)
Isso exige simultaneamente
lambda = 2, lambda = 32, lambda = 1,
o que é impossível. Portanto v1 e v2 são linearmente independentes.

Passo 5

Já que há exatamente dois vetores independentes em v1,v2,v3, concluímos que
dim W = 2

Resposta

A dimensão do subespaço gerado pelo conjunto é 2.

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