Considere o conjunto
. Determine se cada afirmação a seguir é verdadeira (V) ou falsa (F):
- () O conjunto
contém o vetor nulo de
.
- () Se
e
, então
.
- () Se
e
, então
.
- () O conjunto
não é fechado para adição de vetores.
- () Para que
seja um subespaço de
, ele não precisa conter o vetor nulo.
- ()
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para avaliar seis afirmações sobre fechamento e subespaço.
Para ser subespaço de , um conjunto deve satisfazer:
Para ser subespaço de
- Conter o vetor zero
. - Ser fechado sob soma de vetores.
- Ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se
contém o vetor nulo de
.
O vetor nulo é e nele
e
satisfaz
.
Logo, a afirmação 1 é verdadeira.
O vetor nulo é
Logo, a afirmação 1 é verdadeira.
Passo 3
Testamos a soma: se
e
, então
Assim, a afirmação 2 é verdadeira e a afirmação 4 (que diz não ser fechado) é falsa.
Passo 4
Testamos a multiplicação por escalar: para
e
,
Portanto, a afirmação 3 é verdadeira.
Passo 5
A afirmação 5 diz que “para ser subespaço não precisa conter o vetor nulo”. Isso contraria a definição de subespaço (que exige conter
). Logo, a afirmação 5 é falsa.
Passo 6
Como
contém o vetor nulo, é fechado sob soma e escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
. A afirmação 6 é verdadeira.
Resposta
- V
- V
- V
- F
- F
- V