Considere o conjunto S=(x, y) in R^2: x=2 y. Determine se cada afirmação a seguir é verdadeira (V) ou falsa (F):
  1. () O conjunto S contém o vetor nulo de R^2.
  2. () Se u in S e v in S, então u+v in S.
  3. () Se u in S e alpha in R, então alpha u in S.
  4. () O conjunto S não é fechado para adição de vetores.
  5. () Para que S seja um subespaço de R^2, ele não precisa conter o vetor nulo.
  6. () S é um subespaço de R^2.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,y)inR^2 : x = 2y
e pede para avaliar seis afirmações sobre fechamento e subespaço.
Para ser subespaço de R^2, um conjunto deve satisfazer:
  1. Conter o vetor zero ,(0,0).
  2. Ser fechado sob soma de vetores.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se S contém o vetor nulo de R^2.
O vetor nulo é (0,0) e nele x=0 e y=0 satisfaz 0 = 2cdot 0.
Logo, a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 3

Testamos a soma: se u=(2y1,y1)in S e v=(2y2,y2)in S, então
u+v = (2y1+2y2,;y1+y2) = l(2(y1+y2),,y1+y2r)in S
Assim, a afirmação 2 é verdadeira e a afirmação 4 (que diz não ser fechado) é falsa.

Passo 4

Testamos a multiplicação por escalar: para u=(2y,y)in S e alphainR,
alpha u = (alphacdot2y,;alpha y) = l(2(alpha y),,alpha yr)in S
Portanto, a afirmação 3 é verdadeira.

Passo 5

A afirmação 5 diz que “para ser subespaço não precisa conter o vetor nulo”. Isso contraria a definição de subespaço (que exige conter (0,0)). Logo, a afirmação 5 é falsa.

Passo 6

Como S contém o vetor nulo, é fechado sob soma e escalar, concluímos que S é de fato um subespaço de R^2. A afirmação 6 é verdadeira.

Resposta

  1. V
  2. V
  3. V
  4. F
  5. F
  6. V

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