Considere as bases B=u1, u2 e B^prime=u1^prime, u2^prime de R^2, onde u1=(1,0), u2=(0,1), u1^prime=(1,1), u2^prime=(2,1)
a) Encontre a matriz de transição PB^prime B de B^prime para B.
b) Encontre a matriz de transição PB B^prime de B para B^prime.
c) Determine as coordenada de [v]B sabendo que [v]B^prime=[r-3 5]

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2: a base canônica
B=, u1=(1,0),; u2=(0,1)
e a base
B'=, u1'=(1,1),; u2'=(2,1)
Pede-se:
a) a matriz de transição PB'to B;
b) a matriz de transição PBto B';
c) as coordenadas [ v]B sabendo [ v]B'=-35.

Passo 2

Para achar PB'to B, lembramos que essa matriz leva coordenadas em B' para coordenadas na base canônica B. Como B é a base padrão, as colunas de PB'to B são simplesmente as coordenadas em B (isto é, as coordenadas canônicas) de u1' e u2'.

Passo 3

As coordenadas canônicas de u1'=(1,1) e u2'=(2,1) são as próprias listas. Logo
PB'to B = 1 & 2 1 & 1

Passo 4

A matriz de transição PBto B' é a inversa de PB'to B, pois
PBto B' = l(PB'to Br)^-1

Passo 5

Calculamos o determinante de PB'to B:
det = 1cdot1 - 2cdot1 = -1
Logo
PBto B' = 1-1 1 & -2 -1 & 1 = -1 & 2 1 & -1

Passo 6

Para obter [ v]B a partir de [ v]B', usamos
[ v]B = PB'to B,[ v]B'

Passo 7

Multiplicando
1 & 2 1 & 1 -35 = 1cdot(-3)+2cdot5 1cdot(-3)+1cdot5 = 72

Resposta

a) PB'to B = 1 & 2 1 & 1
b) PBto B' = -1 & 2 1 & -1
c) [ v]B = 7 2

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