Exercício 35 (Projeção ortogonal) Considerem-se os pontos A(-1 ; 1 ; 2), B(0 ; 0 ; 1), C(0 ;-1 ;-2).
35.2 Considere-se o ponto M(8 ; 10 ; 5). Determinar uma represntação paramétrica da reta (R) que contém o ponto M e é perpendicular ao plano (A B C).

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(-1;1;2), B(0;0;1), C(0;-1;-2) e pede uma reta (R) que passe por M(8;10;5) e seja perpendicular ao plano determinado por A, B e C. Para isso, precisamos encontrar um vetor normal a esse plano, pois a reta perpendicular ao plano terá direção paralela a esse vetor.

Passo 2

Calcular os vetores AB e AC a partir das coordenadas dos pontos:
AB = B - A = (0 - (-1),,0 - 1,,1 - 2) = (1,,-1,,-1),
AC = C - A = (0 - (-1),,-1 - 1,,-2 - 2) = (1,,-2,,-4)

Passo 3

Encontrar o vetor normal n ao plano ABC como produto vetorial ABtimesAC:
n =ABtimesAC = i&j&k 1&-1&-1 1&-2&-4 =2,i+3,j-1,k,
ou seja, n=(2,3,-1).

Passo 4

A reta (R) que passa por M(8;10;5) e tem direção n=(2,3,-1) admite a representação paramétrica
(x,y,z) = (8,10,5) + t,(2,3,-1),
onde tinR.

Resposta

x = 8 + 2t, y = 10 + 3t, z = 5 - t, tinR

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