Exercício 35 (Projeção ortogonal) Considerem-se os pontos .
35.1 Mostrar que os pontos não são alinhados. Determinar uma equação cartesiana do plano ( ).
Passo 1
O enunciado dá os pontos , e . Queremos mostrar que eles não são colineares (isto é, que e AC não são múltiplos um do outro) e, em seguida, encontrar a equação cartesiana do plano que passa por A, B e C. Vamos usar conceitos de geometria analítica em R^3: vetores diretores, produto vetorial e forma geral de equação de plano.
Passo 2
Começamos calculando os vetores
AB = B - A = (0 - (-1),,0 - 1,,1 - 2) = (1,,-1,,-1),
AC = C - A = (0 - (-1),,-1 - 1,,-2 - 2) = (1,,-2,,-4)
Para verificar colinearidade, usamos o produto vetorial: se ABtimes AC neq 0, então os vetores não são colineares. Portanto, eles não estão sobre a mesma reta, ou seja, A, B e C não são alinhados.
A projeção ortogonal não entra neste item; a resposta para 35.1 é:
Os vetores AB e AC não são colineares (produto vetorial não nulo), logo A, B, C não estão alinhados, e a equação cartesiana do plano (ABC) é