Exercício 35 (Projeção ortogonal) Considerem-se os pontos A(-1 ; 1 ; 2), B(0 ; 0 ; 1), C(0 ;-1 ;-2).
35.1 Mostrar que os pontos A, B, C não são alinhados. Determinar uma equação cartesiana do plano ( A B C ).

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(-1;1;2), B(0;0;1) e C(0;-1;-2). Queremos mostrar que eles não são colineares (isto é, que AB e AC não são múltiplos um do outro) e, em seguida, encontrar a equação cartesiana do plano que passa por A, B e C. Vamos usar conceitos de geometria analítica em R^3: vetores diretores, produto vetorial e forma geral de equação de plano.

Passo 2

Começamos calculando os vetores
AB = B - A = (0 - (-1),,0 - 1,,1 - 2) = (1,,-1,,-1),
AC = C - A = (0 - (-1),,-1 - 1,,-2 - 2) = (1,,-2,,-4)
Para verificar colinearidade, usamos o produto vetorial: se ABtimes AC neq 0, então os vetores não são colineares. Portanto, eles não estão sobre a mesma reta, ou seja, A, B e C não são alinhados.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
n = ABtimes AC = i&j&k 1 & -1 & -1 1 & -2 & -4 = i,( (-1)(-4)-(-1)(-2) ) - j,( 1cdot(-4)-(-1)cdot1 ) + k,( 1cdot(-2)-(-1)cdot1 )
Isso dá
n = i,(4-2) - j,(-4+1) + k,(-2+1) = 2,i + 3,j -1,k,
isto é, n=(2,3,-1). Como nneq0, concluímos que AB e AC não são colineares.

Passo 4

A equação de um plano que passa por A(x0,y0,z0) e tem vetor normal n=(a,b,c) é
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Aqui A(-1,1,2) e n=(2,3,-1), logo
2,(x+1) + 3,(y-1) -1,(z-2) = 0
Expandindo,
2x + 2 + 3y - 3 - z + 2 = 0 Longrightarrow 2x + 3y - z + 1 = 0

Resposta

A projeção ortogonal não entra neste item; a resposta para 35.1 é:
Os vetores AB e AC não são colineares (produto vetorial não nulo), logo A, B, C não estão alinhados, e a equação cartesiana do plano (ABC) é
2x + 3y - z + 1 = 0

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