Exercício 28 (Plano determinado por três pontos) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal
de coordenadas cartesianas. Entre as equações cartesianas ou representações paramétricas seguintes, determinar quais são aquelas que correspondem ao único plano
que passa pelos pontos
.
28.3 O plano com representação paramétrica
28.3 O plano com representação paramétrica
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a representação paramétrica
é exatamente o plano que passa pelos pontos
O conteúdo usado será a definição de plano por um ponto e dois vetores diretores: basta mostrar que
A,B,C satisfazem essa forma paramétrica.
Passo 2
Extraímos da paramétrica o ponto base e os vetores diretores. Para
(s,t)=(0,0) obtemos o ponto
e os vetores diretores são as derivadas em relação a
s e
t :
Logo todo ponto do plano é
Passo 3
Verificamos que
A=P0 , pois
Logo
A está no plano.
Passo 4
Para
B calculamos o vetor
AB=B-A=(-2,-1,4) e buscamos
s,t tais que
Da segunda coordenada
-1=2t vem
t=-tfrac12 .
Da primeira-2=-s+3t dá
Da primeira
Na terceira checa-se
que coincide com a coordenada de
AB . Logo
B pertence ao plano.
Passo 5
Para
C temos
AC=C-A=(1,1,-1) . Resolvem-se
Da segunda coordenada
1=2t segue
t=tfrac12 .
Da primeira1=-s+3t dá
Da primeira
E na terceira
conforme desejado. Assim
C também está no plano.
Resposta
A representação
(P3) coincide com o plano determinado por
A,B,C .