Exercício 28 (Plano determinado por três pontos) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal (O ; imath, jmath, k) de coordenadas cartesianas. Entre as equações cartesianas ou representações paramétricas seguintes, determinar quais são aquelas que correspondem ao único plano (P) que passa pelos pontos A(1 ; 1 ; 0), B(-1 ; 0 ; 4), C(2 ; 2 ;-1).
28.3 O plano com representação paramétrica
(P3):l x=1-s+3 t y=1+2 t z=3 s-5 t (s, t in R)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a representação paramétrica
(P3): x=1 - s + 3,t, y=1 + 2,t, z=3,s - 5,t, (s,tinR)
é exatamente o plano que passa pelos pontos
A(1,1,0), B(-1,0,4), C(2,2,-1)
O conteúdo usado será a definição de plano por um ponto e dois vetores diretores: basta mostrar que A,B,C satisfazem essa forma paramétrica.

Passo 2

Extraímos da paramétrica o ponto base e os vetores diretores. Para (s,t)=(0,0) obtemos o ponto
P0=(1,1,0),
e os vetores diretores são as derivadas em relação a s e t:
vs=(-1,0,3), vt=(3,2,-5)
Logo todo ponto do plano é
P(s,t)=P0+s,vs+t,vt

Passo 3

Verificamos que A=P0, pois
A=(1,1,0)=P(0,0)
Logo A está no plano.

Passo 4

Para B calculamos o vetor AB=B-A=(-2,-1,4) e buscamos s,t tais que
(-2,-1,4)=s(-1,0,3)+t(3,2,-5)
Da segunda coordenada -1=2t vem t=-tfrac12.
Da primeira -2=-s+3t
-s+3l(-tfrac12r)=-2 ;Rightarrow; -s-tfrac32=-2 ;Rightarrow; s=tfrac12
Na terceira checa-se
3s-5t=3l(tfrac12r)-5l(-tfrac12r) =tfrac32+tfrac52=4,
que coincide com a coordenada de AB. Logo B pertence ao plano.

Passo 5

Para C temos AC=C-A=(1,1,-1). Resolvem-se
(1,1,-1)=s(-1,0,3)+t(3,2,-5)
Da segunda coordenada 1=2t segue t=tfrac12.
Da primeira 1=-s+3t
-s+3l(tfrac12r)=1 ;Rightarrow; -s+tfrac32=1 ;Rightarrow; s=tfrac12
E na terceira
3s-5t=3l(tfrac12r)-5l(tfrac12r) =tfrac32-tfrac52=-1,
conforme desejado. Assim C também está no plano.

Resposta

A representação (P3) coincide com o plano determinado por A,B,C.

Exercícios relacionados