Considere as bases do R^{2}, \alpha=\{(1,1),(0,-1)\} e \beta=\{(2,-3),(-1,4)\}.
a) Encontre a matriz mudança de base [I]_{\beta}^{\alpha}.
b) Utilize a matriz do item anterior para calcular [v]_{\beta}, sabendo que [v]_{\alpha}=\binom{2}{1}.
c) Encontre a matriz mudança de base [I]_{\alpha}^{\beta}.
Passo 1
O exercício pede para construirmos as matrizes de mudança de base entre as bases \alpha=\{(1,1),(0,-1)\} e \beta=\{(2,-3),(-1,4)\} de \mathbb R^2.
O conteúdo é transformação de coordenadas: para obter [I]_{\beta}^{\alpha} aplicamos em cada vetor de \alpha a decomposição na base \beta;
para [I]_{\alpha}^{\beta} fazemos o inverso; e em (b) multiplicamos a matriz de (a) pelo vetor dado.
Passo 2
Para achar [I]_{\beta}^{\alpha}\) precisamos expressar cada vetor de \(\alpha\) como combinação linear dos vetores de \(\beta\).
Começando por \(\alpha_1=(1,1)\), escrevemos
\[(1,1)=c(2,-3)+d(-1,4).
Dessas equações vem c'=-\tfrac15\] e \(d'=-\tfrac25. Assim as coordenadas de \alpha_2 em \beta são \bigl(c',d'\bigr)=\bigl(-\tfrac15,-\tfrac25\bigr).
Portanto a matriz de mudança de base de \alpha para \beta (ou seja [I]_{\beta}^{\alpha} que manda [\cdot]_{\alpha} em [\cdot]_{\beta}) tem como colunas essas coordenadas:
Para achar [I]_{\alpha}^{\beta}\) podemos inverter a matriz anterior ou, mais direto, expressar cada vetor de \(\beta\) em termos de \(\alpha\).
Tomando \(\beta_1=(2,-3)\), escrevemos
\[(2,-3)=u(1,1)+v(0,-1),