Considere as bases do R^{2}, \alpha=\{(1,1),(0,-1)\} e \beta=\{(2,-3),(-1,4)\}.
a) Encontre a matriz mudança de base [I]_{\beta}^{\alpha}.
b) Utilize a matriz do item anterior para calcular [v]_{\beta}, sabendo que [v]_{\alpha}=\binom{2}{1}.
c) Encontre a matriz mudança de base [I]_{\alpha}^{\beta}.

Passo 1

O exercício pede para construirmos as matrizes de mudança de base entre as bases \alpha=\{(1,1),(0,-1)\} e \beta=\{(2,-3),(-1,4)\} de \mathbb R^2.
O conteúdo é transformação de coordenadas: para obter [I]_{\beta}^{\alpha} aplicamos em cada vetor de \alpha a decomposição na base \beta;
para [I]_{\alpha}^{\beta} fazemos o inverso; e em (b) multiplica­mos a matriz de (a) pelo vetor dado.

Passo 2

Para achar [I]_{\beta}^{\alpha}\) precisamos expressar cada vetor de \(\alpha\) como combinação linear dos vetores de \(\beta\). Começando por \(\alpha_1=(1,1)\), escrevemos \[(1,1)=c(2,-3)+d(-1,4).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2c - d = 1,\\\\ -3c +4d = 1. \end{cases}
Resolvendo, obtemos c=1\] e \[d=1. Então as coordenadas de \alpha_1 em \beta são \bigl(c,d\bigr)=(1,1).
Agora para \alpha_2=(0,-1), escrevemos
(0,-1)=c'(2,-3)+d'(-1,4),
que dá
\begin{cases} 2c' - d' = 0,\\\\ -3c' +4d' = -1. \end{cases}
Dessas equações vem c'=-\tfrac15\] e \(d'=-\tfrac25. Assim as coordenadas de \alpha_2 em \beta são \bigl(c',d'\bigr)=\bigl(-\tfrac15,-\tfrac25\bigr).
Portanto a matriz de mudança de base de \alpha para \beta (ou seja [I]_{\beta}^{\alpha} que manda [\cdot]_{\alpha} em [\cdot]_{\beta}) tem como colunas essas coordenadas:
[I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{1}{5}\\[0.3em] 1 & -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para calcular [v]_{\beta} a partir de [v]_{\alpha}=\binom{2}{1}, basta multiplicar:
[v]_{\beta} = [I]_{\beta}^{\alpha}\,\bigl[v\bigr]_{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{1}{5}\\[0.3em] 1 & -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \tfrac{1}{5}\\[0.4em] 2 - \tfrac{2}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\[0.3em] \tfrac{8}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para achar [I]_{\alpha}^{\beta}\) podemos inverter a matriz anterior ou, mais direto, expressar cada vetor de \(\beta\) em termos de \(\alpha\). Tomando \(\beta_1=(2,-3)\), escrevemos \[(2,-3)=u(1,1)+v(0,-1),
o que leva a
\begin{cases} u = 2,\\\ u - v = -3, \end{cases}
logo u=2\], \[v=5. Para \beta_2=(-1,4),
(-1,4)=u'(1,1)+v'(0,-1)
gera
\begin{cases} u' = -1,\\\ u' - v' = 4, \end{cases}
daí u'=-1\], \(v'=-5.
As colunas de [I]_{\alpha}^{\beta} são \bigl(u,v\bigr)=(2,5) e \bigl(u',v'\bigr)=(-1,-5), isto é,
[I]_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} 2 & -1\\[0.3em] 5 & -5 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a)
[I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{1}{5}\\[0.3em] 1 & -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}.
(b)
[v]_{\beta} = \begin{pmatrix} \tfrac{9}{5}\\[0.3em] \tfrac{8}{5} \end{pmatrix}.
(c)
[I]_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} 2 & -1\\[0.3em] 5 & -5 \end{pmatrix}.]

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