Questão 18. Dada a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & 1 & 3 \\\\ -1 & -1 & 0 \end{array}\right)
Disse se é possivel diagonalizar a matriz $A.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\[6pt] 4 & 1 & 3 \\[6pt] -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}
é diagonalizável. O conteúdo usado aqui é teoria de autovalores e autovetores: primeiro calculamos o polinômio característico de A, depois seus autovalores e, por fim, analisamos as multiplicidades algébrica e geométrica. Se existirem três autovetores linearmente independentes num determinado corpo (real ou complexo), então A é diagonalizável nesse corpo.]

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). Temos
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\[4pt] 4 & 1-\lambda & 3 \\[4pt] -1 & -1 & -\lambda \end{pmatrix}.
Usando expansão pela primeira linha:
\det(A-\lambda I) =(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda&3\\\ -1&-\lambda\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}4&3\\\ -1&-\lambda\end{pmatrix}.
Calculemos cada menor:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda&3\\\ -1&-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-\lambda)-3(-1) =\lambda^2-\lambda+3,
\det\begin{pmatrix}4&3\\\ -1&-\lambda\end{pmatrix} =4(-\lambda)-3(-1)=-4\lambda+3.
Logo
\chi_A(\lambda) =(2-\lambda)(\lambda^2-\lambda+3)\;-\;(-4\lambda+3) =-\lambda^3+3\lambda^2-\lambda+3.
Multiplicando tudo por -1, obtemos a forma mais comum:
\chi_A(\lambda)=\lambda^3-3\lambda^2+\lambda-3.]

Passo 3

Fatoramos \chi_A(\lambda) por agrupamento:
\chi_A(\lambda) =\lambda^2(\lambda-3)+1(\lambda-3) =(\lambda-3)(\lambda^2+1).
Portanto os autovalores são
\lambda_1=3,\quad \lambda_2=i,\quad \lambda_3=-i,
cada um com multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 4

Teorema: se todos os autovalores de uma matriz são distintos, então ela é diagonalizável sobre o corpo que contém esses autovalores, pois cada autovalor simples gera um autovetor e são três autovetores independentes.
  • Sobre \mathbb{C}: como 3,i,-i são distintos, A tem três autovetores linearmente independentes em \mathbb{C}^3. Logo é diagonalizável em \mathbb{C}.
  • Sobre \mathbb{R}: só há um autovalor real 3, os demais são complexos, logo não existe base real de três autovetores em \mathbb{R}^3. Assim não é diagonalizável em \mathbb{R}.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável sobre os reais, mas é diagonalizável sobre os complexos.

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