é diagonalizável. O conteúdo usado aqui é teoria de autovalores e autovetores: primeiro calculamos o polinômio característico de A, depois seus autovalores e, por fim, analisamos as multiplicidades algébrica e geométrica. Se existirem três autovetores linearmente independentes num determinado corpo (real ou complexo), então A é diagonalizável nesse corpo.]
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). Temos
Teorema: se todos os autovalores de uma matriz são distintos, então ela é diagonalizável sobre o corpo que contém esses autovalores, pois cada autovalor simples gera um autovetor e são três autovetores independentes.
Sobre \mathbb{C}: como 3,i,-i são distintos, A tem três autovetores linearmente independentes em \mathbb{C}^3. Logo é diagonalizável em \mathbb{C}.
Sobre \mathbb{R}: só há um autovalor real 3, os demais são complexos, logo não existe base real de três autovetores em \mathbb{R}^3. Assim não é diagonalizável em \mathbb{R}.
Resposta
A matriz Anão é diagonalizável sobre os reais, mas é diagonalizável sobre os complexos.