Verifique se os operadores abaixo, dados por meio de matrizes, são diagonalizáveis. Caso afirmativo, escreva a matriz de T com relação a uma base de autovetores. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que [T]_{C}=\left[\begin{array}{ccc}5 & -6 & -6 \\\\ -1 & 4 & 2 \\\\ 3 & -6 & -4\end{array}\right], C base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz na base canônica C é
Precisamos verificar se A é diagonalizável, ou seja, se possui três autovetores linearmente independentes, o que envolve calcular o polinômio característico, encontrar autovalores e autovetores.
Da segunda linha vem x=2y+2z, e essa condição já satisfaz a primeira. Tomando parâmetros livres y e z, obtemos dois autovetores independentes, por exemplo
v_2=(2,\,1,\,0), \quad v_3=(2,\,0,\,1).
Passo 5
Como achamos três autovetores independentes v_1,v_2,v_3, sendo a soma das dimensões dos autespaços igual a 3, concluímos que A é diagonalizável. Se escolhermos a base de autovetores
B=\{\,v_1,\,v_2,\,v_3\}
então a matriz de T nessa base é a diagonal com os autovalores na ordem correspondente: