Verifique se os operadores abaixo, dados por meio de matrizes, são diagonalizáveis. Caso afirmativo, escreva a matriz de T com relação a uma base de autovetores.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que [T]_{C}=\left[\begin{array}{ccc}5 & -6 & -6 \\\\ -1 & 4 & 2 \\\\ 3 & -6 & -4\end{array}\right], C base canônica de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz na base canônica C é
A=[T]_{C}=\begin{pmatrix} 5 & -6 & -6\\\\ -1 & 4 & 2\\\\ 3 & -6 & -4 \end{pmatrix}.
Precisamos verificar se A é diagonalizável, ou seja, se possui três autovetores linearmente independentes, o que envolve calcular o polinômio característico, encontrar autovalores e autovetores.

Passo 2

O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 5-\lambda & -6 & -6\\\\ -1 & 4-\lambda & 2\\\\ 3 & -6 & -4-\lambda \end{pmatrix} =\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4.
Fatorando, obtemos
\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4=(\lambda-1)(\lambda-2)^2,
logo os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix} 4 & -6 & -6\\\\ -1 & 3 & 2\\\\ 3 & -6 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Das equações segue x=3y+2z e 3y+z=0, então z=-3y e x=-3y. Um autovetor não nulo é
v_1=(-3,\,1,\,-3).

Passo 4

Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix} 3 & -6 & -6\\\\ -1 & 2 & 2\\\\ 3 & -6 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da segunda linha vem x=2y+2z, e essa condição já satisfaz a primeira. Tomando parâmetros livres y e z, obtemos dois autovetores independentes, por exemplo
v_2=(2,\,1,\,0), \quad v_3=(2,\,0,\,1).

Passo 5

Como achamos três autovetores independentes v_1,v_2,v_3, sendo a soma das dimensões dos autespaços igual a 3, concluímos que A é diagonalizável. Se escolhermos a base de autovetores
B=\{\,v_1,\,v_2,\,v_3\}
então a matriz de T nessa base é a diagonal com os autovalores na ordem correspondente:

Resposta

B = \{(-3,1,-3),\,(2,1,0),\,(2,0,1)\}
[T]_{B}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

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