Considere as bases X=x1, x2, x3 e Y=y1, y2, y3 de R^3.
I. Determine as matrizes de transição PX Y e PY X responsáveis pelas mudanças de bases entre os vetores de coordenadas de X e de Y.
II. Dado o vetor r, obtenha o vetor de coordenadas (r)X e utilize a matriz de transição apropriada para determinar o vetor de coordenadas (r)Y.
A distribuição das bases X e Y e do vetor r para cada aluno está disposta na TABELA III.
ll S'IHEFANY SABRIN Y DE MORAES r=(3,3,-1) & x1=(4,4,1) & y1=(-1,0,3) x2=(4,-5,-2) & y2=(-2,-3,2) x3=(-2,-5,-1) & y3=(-2,-3,4)

Passo 1

O exercício pede pra gente trabalhar com mudança de base em R^3: temos as bases X=x1,x2,x3 e Y=y1,y2,y3 dadas na tabela, e um vetor r no padrão canônico. Aí queremos (I) as matrizes de transição PXto Y e PYto X, e (II) as coordenadas de r na base X, ou seja (r)X, e depois usar PXto Y pra achar (r)Y. Vamos usar sistemas lineares pra achar combinações lineares e multiplicação de matriz por vetor.

Passo 2

Pra achar PXto Y a ideia é escrever cada xi como combinação dos yj. Sejam as incógnitas c1,c2,c3 tais que
c1y1 + c2y2 + c3y3 = xi
Resolvendo esse sistema para i=1,2,3 achamos as colunas de PXto Y.

Passo 3

Pra achar PYto X fazemos o inverso: escrevemos cada yj como combinação dos xi. Sejam d1,d2,d3 tais que
d1x1 + d2x2 + d3x3 = yj
Resolvendo para j=1,2,3 obtemos as colunas de PYto X.

Passo 4

Para achar montamos o sistema
e resolvemos pra . Assim temos

Passo 5

Finalmente, para obter (r)Y a gente faz
(r)Y = PXto Y,(r)X,
que é só multiplicar a matriz de transição pelo vetor de coordenadas em X.

Resposta

PXto Y = -tfrac43 & -tfrac223 & -tfrac43 -tfrac316 & -tfrac203 & tfrac116 tfrac236 & tfrac253 & -tfrac16 , PYto X = tfrac8518 & tfrac379 & tfrac679 -tfrac3718 & -tfrac169 & -tfrac289 tfrac356 & tfrac173 & tfrac293 ,
(r)X = -tfrac12 tfrac32 -tfrac52, (r)Y = -7 -12 11

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