Exercício 11. Determine os geradores para cada um dos seguintes subespaços do espaço vetorial real
:
(a)
.
(b)
e
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede os geradores (ou seja, um sistema de vetores cujas combinações lineares produzem todo o subespaço) de subespaços de
definidos por equações lineares. Para isso vamos escrever cada conjunto em forma paramétrica, identificando vetores que geram a solução de cada sistema.
Passo 2
Para
temos
sem restrição em
. Tome parâmetros
e
. Então
Logo um conjunto de geradores de
é
.
Passo 3
Para
as duas equações dão
e
. Com parâmetro
obtemos
Assim um gerador de
é
.
Passo 4
Para
isolamos
. Com parâmetros
e
,
Portanto geradores de
são
.
Passo 5
O espaço
consiste dos vetores que satisfazem simultaneamente
e
; mas isso é exatamente a definição de
. Logo
cujo gerador já achamos:
.
Passo 6
O espaço
é gerado pela união dos geradores de
e
, ou seja por
. Basta verificar que esses três vetores são linearmente independentes (o determinante da matriz formada por eles é
), portanto
Um conjunto de geradores de
pode ser, por exemplo,
(ou até mesmo a base canônica de
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) por exemplo gerado por
(b)
(c)
(d)
(e)