Exercício 11. Determine os geradores para cada um dos seguintes subespaços do espaço vetorial real (R^3,+, cdot) :
(a) U=(x, y, z) in R^3 ; x-2 y=0.
(b) V=(x, y, z) in R^3 ; x+z=0 e x-2 y=0.
(c) W=(x, y, z) in R^3 ; x+2 y-3 z=0.
(d) U cap V.
(e) V+W.

Passo 1

O enunciado pede os geradores (ou seja, um sistema de vetores cujas combinações lineares produzem todo o subespaço) de subespaços de R^3 definidos por equações lineares. Para isso vamos escrever cada conjunto em forma paramétrica, identificando vetores que geram a solução de cada sistema.

Passo 2

Para U=(x,y,z)inR^3; x-2y=0 temos x=2y sem restrição em z. Tome parâmetros y=s e z=t. Então
(x,y,z) = (2s,s,t) = s,(2,1,0) + t,(0,0,1)
Logo um conjunto de geradores de U é (2,1,0),(0,0,1).

Passo 3

Para V=(x,y,z)inR^3; x+z=0,;x-2y=0 as duas equações dão x=2y e z=-x=-2y. Com parâmetro y=s obtemos
(x,y,z)=(2s,s,-2s)=s,(2,1,-2)
Assim um gerador de V é (2,1,-2).

Passo 4

Para W=(x,y,z)inR^3; x+2y-3z=0 isolamos x=-2y+3z. Com parâmetros y=s e z=t,
(x,y,z)=(-2s+3t,s,t)=s,(-2,1,0)+t,(3,0,1)
Portanto geradores de W são (-2,1,0),(3,0,1).

Passo 5

O espaço Ucap V consiste dos vetores que satisfazem simultaneamente x-2y=0 e x+z=0; mas isso é exatamente a definição de V. Logo
Ucap V = V,
cujo gerador já achamos: (2,1,-2).

Passo 6

O espaço V+W é gerado pela união dos geradores de V e W, ou seja por
(2,1,-2),,(-2,1,0),,(3,0,1). Basta verificar que esses três vetores são linearmente independentes (o determinante da matriz formada por eles é 10neq0), portanto
V+W = R^3
Um conjunto de geradores de V+W pode ser, por exemplo, (2,1,-2),,(-2,1,0),,(3,0,1) (ou até mesmo a base canônica de R^3).

Resposta

(a) U = Span(2,1,0),(0,0,1)
(b) V = Span(2,1,-2)
(c) W = Span(-2,1,0),(3,0,1)
(d) Ucap V = V = Span(2,1,-2)
(e) V+W = R^3, por exemplo gerado por (2,1,-2),,(-2,1,0),,(3,0,1)

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