l 3 x-y+z=0 x+y-2 z=0 5 x-3 y+4 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear homogêneo
3x - y + z = 0, x + y - 2z = 0, 5x - 3y + 4z = 0
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares homogêneos e vamos usar eliminação de Gauss para encontrar o espaço nulo (solução não-trivial).

Passo 2

Para simplificar, trocamos a primeira e a segunda equação, de modo que a nova ordem seja
x + y - 2z = 0, 3x - y + z = 0, 5x - 3y + 4z = 0
Agora eliminamos x da segunda e da terceira linha usando a primeira:
  • Segunda linha >=ts segunda linha -3times primeira linha (3x - y + z) - 3(x + y - 2z) = -4y + 7z = 0
  • Terceira linha >=ts terceira linha -5times primeira linha (5x - 3y + 4z) - 5(x + y - 2z) = -8y + 14z = 0

Passo 3

A segunda equação reduzida é
-4y + 7z = 0,
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y = 74,z

Passo 4

Voltando à primeira equação x + y - 2z = 0 e substituindo y, temos
x = 2z - y = 2z - 74z = 14z

Passo 5

Chamando t = z como parâmetro livre, obtemos
(x,y,z) = l(tfrac14t,;tfrac74t,;tr) = tl(tfrac14,tfrac74,1r)
Para evitar frações, podemos reescrever com lambda = t/4, ficando
(x,y,z) = lambda,(1,7,4), lambdainR

Resposta

O conjunto das soluções é
,lambda(1,7,4)mid lambdainR

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