Considere as bases de B^prime=(1,0),(i, 0),(1,1),(1, i) e C^2 de R como espaços vetoriais sobre T: R2[x] C^2. Determine as coordenadas da transformação linear llvj & se k=i 0 & se k neq i dada por uk in B com relação à base vj in B^prime, i=1,2,3 de j=1,2,3,4 onde para e e .
Passo 1
No enunciado, temos o espaço R2[x] com base B=u1=1,;u2=1+x,;u3=1+x^2 e o espaço C^2 visto como espaço real com base B'=v1=(1,0),;v2=(i,0),;v3=(1,1),;v4=(1,i). A transformação linear é definida por
T(a+bx+cx^2)=(a+bi,;b+ci)
Queremos as coordenadas de T na base Tij de Hom(R2[x],C^2).
Passo 2
Para resolver, lembramos que a base Tij é tal que
Tij(uk)=vj,&k=i,0,&kneq i,
e assim qualquer T se expande como T=sumi=1^3sumj=1^4cij,Tij,
o que implica que cij é justamente a coordenada de T(ui) na direção de vj.
Passo 3
Para u1=1: temos a=1,b=0,c=0, logo
T(1)=(1+0i,0+0i)=(1,0)=v1
Isso significa que T(u1)=1cdot v1+0cdot v2+0cdot v3+0cdot v4,
ou seja, c11=1 e c1j=0 para j=2,3,4.
Passo 4
Para u2=1+x: temos a=1,b=1,c=0, logo
T(1+x)=(1+1i,1+0i)=(1+i,1)
Procuramos rjinR tais que (1+i,1)=r1v1+r2v2+r3v3+r4v4
Escrevendo e comparando partes real e imaginária, obtemos
r1=0,;r2=1,;r3=1,;r4=0
Assim T(u2)=0,v1+1,v2+1,v3+0,v4,
ici c21=0,;c22=1,;c23=1,;c24=0.
Passo 5
Para u3=1+x^2: temos a=1,b=0,c=1, logo
T(1+x^2)=(1+0i,0+1i)=(1,i)
Fazendo a combinação (1,i)=r1v1+r2v2+r3v3+r4v4