Mostre que exibindo um isomorfismo:
Para qualquer espaço vetorial V, existe um isomorfismo canônico (i.e., um isomorfismo que não depende da base) V simeq Hom(K, V).

Passo 1

Estamos lidando com espaços vetoriais sobre um corpo K e queremos mostrar que V é canonicamente isomorfo a Hom(K,V), o espaço de aplicações lineares de K em V.

Passo 2

Definimos uma aplicação Phicolon V to Hom(K,V) da seguinte forma: para cada vin V, seja Phi(v) = fv, onde
fvcolon K to V, fv(alpha) = alpha,v

Passo 3

Mostramos que Phi é linear. De fato, para v,win V e lambdainK:
Phi(v+w)(alpha) = alpha,(v+w) = alpha v + alpha w = fv(alpha) + fw(alpha) = (fv + fw)(alpha),
Phi(lambda v)(alpha) = alpha,(lambda v) = (alphalambda)v = lambda(alpha v) = (lambda fv)(alpha)

Passo 4

Mostramos que Phi é injetora. Se Phi(v)=0 (a aplicação zero), então fv(1)=0, mas fv(1)=1cdot v=v. Logo v=0.

Passo 5

Mostramos que Phi é sobrejetora. Dada finHom(K,V), observe que para todo alphainK
f(alpha)=f(alphacdot 1)=alpha,f(1),ou seja, f = ff(1) = Phil(f(1)r).

Passo 6

Portanto Phi é bijetora e linear, isto é, é um isomorfismo. Ele é canônico pois não depende de escolha de base: usa apenas a estrutura de espaço vetorial.

Passo 7

O inverso de Phi é dado por Psicolon Hom(K,V) to V, Psi(f)=f(1), e verifica-se facilmente que Psi(Phi(v))=v e Phi(Psi(f))=f.

Resposta

O isomorfismo canônico é
Phicolon V to Hom(K,V), Phi(v)=fv, fv(alpha)=alpha v
Seu inverso é
Psicolon Hom(K,V)to V, Psi(f)=f(1)

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