Mostre que exibindo um isomorfismo:
Para qualquer espaço vetorial
, existe um isomorfismo canônico (i.e., um isomorfismo que não depende da base)
.
Para qualquer espaço vetorial
Passo 1
Estamos lidando com espaços vetoriais sobre um corpo
e queremos mostrar que
é canonicamente isomorfo a
, o espaço de aplicações lineares de
em
.
Passo 2
Definimos uma aplicação
da seguinte forma: para cada
, seja
, onde
Passo 3
Mostramos que
é linear. De fato, para
e
:
Passo 4
Mostramos que
é injetora. Se
(a aplicação zero), então
, mas
. Logo
.
Passo 5
Mostramos que
é sobrejetora. Dada
, observe que para todo
Passo 6
Portanto
é bijetora e linear, isto é, é um isomorfismo. Ele é canônico pois não depende de escolha de base: usa apenas a estrutura de espaço vetorial.
Passo 7
O inverso de
é dado por
,
, e verifica-se facilmente que
e
.
Resposta
O isomorfismo canônico é
Seu inverso é