Considere as seguintes afirmações e decida se são Verdadeiras ou Falsas:
a Se T: R^2 R^4 é linear e T é não nula, então existem pelo menos 2 vetores LI em R^4 que não estão em Im(T).
b Se T: R^3 R^2 é linear e T é não nula, então é sobrejetora.
c Se T: R^4 R^4 é linear, então dimR ker T neq dimR Im(T)
d Seja W um subespaço vetorial de R^5, dimR W=1. Então existe uma transformação linear T: R^5 R^3 com ker T=W.

Passo 1

Estamos lidando com transformações lineares entre espaços vetoriais reais e precisamos usar o Teorema da Dimensão (também chamado de Teorema Núcleo-Imágen ou Rank-Nullity). Ele diz que, para uma transformação linear T: R^ntoR^m, vale
dim(ker T)+dim(ImT)=n
Com isso em mãos, vamos analisar cada afirmação.

Passo 2

Para a) temos T:R^2toR^4 não nula, logo dim(ImT)=rank(T) satisfaz
1<=dim(ImT)<=2
Como o espaço alvo é de dimensão 4, o complemento da imagem tem dimensão
$$4-\dim(\operatorname{Im}T)\ge4-2=2.
$$
Isso garante que existem pelo menos 2 vetores linearmente independentes fora de 4-dim(ImT)>=4-2=2 . Portanto, a) é Verdadeira.

Passo 3

Na b) temos T:R^3toR^2 não nula, logo
$$1\le\dim(\operatorname{Im}T)\le2.
$$
Para ser sobrejetora precisaríamos de 1<=dim(ImT)<=2 , mas é possível ter apenas dim(ImT)=2. Logo nem toda transformação não nula é sobrejetora. b) é Falsa.

Passo 4

Em c) T:R^4toR^4 e pelo Teorema da Dimensão
$$\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=4.
$$
Nada impede que dim(ker T)+dim(ImT)=4 . Por exemplo, uma projeção cujo núcleo e imagem têm dimensão 2. Logo não é obrigatório serem diferentes. c) é Falsa.

Passo 5

Para d) queremos ker T=W com dim W=1 em R^5. Então dim(ker T)=1 implica por rank–nullity que
$$\dim(\operatorname{Im}T)=5-1=4.
$$
Mas o codomínio é dim(ImT)=5-1=4 , onde a imagem não pode ter dimensão maior que 3. Isso é impossível. d) é Falsa.

Resposta

a) Verdadeira; b) Falsa; c) Falsa; d) Falsa.

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