Considere as seguintes afirmações e decida se são Verdadeiras ou Falsas:
a Se
é linear e
é não nula, então existem pelo menos 2 vetores LI em
que não estão em
.
b Se
é linear e
é não nula, então é sobrejetora.
c Se
é linear, então
d Seja
um subespaço vetorial de
. Então existe uma transformação linear
com
.
a Se
b Se
c Se
d Seja
Passo 1
Estamos lidando com transformações lineares entre espaços vetoriais reais e precisamos usar o Teorema da Dimensão (também chamado de Teorema Núcleo-Imágen ou Rank-Nullity). Ele diz que, para uma transformação linear
, vale
Com isso em mãos, vamos analisar cada afirmação.
Passo 2
Para a) temos
não nula, logo
satisfaz
Como o espaço alvo é de dimensão 4, o complemento da imagem tem dimensão
$$4-\dim(\operatorname{Im}T)\ge4-2=2.
$$
Isso garante que existem pelo menos 2 vetores linearmente independentes fora de . Portanto, a) é Verdadeira.
Isso garante que existem pelo menos 2 vetores linearmente independentes fora de
Passo 3
Na b) temos
não nula, logo
$$1\le\dim(\operatorname{Im}T)\le2.
$$
Para ser sobrejetora precisaríamos de , mas é possível ter apenas
. Logo nem toda transformação não nula é sobrejetora. b) é Falsa.
Para ser sobrejetora precisaríamos de
Passo 4
Em c)
e pelo Teorema da Dimensão
$$\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=4.
$$
Nada impede que . Por exemplo, uma projeção cujo núcleo e imagem têm dimensão 2. Logo não é obrigatório serem diferentes. c) é Falsa.
Nada impede que
Passo 5
Para d) queremos
com
em
. Então
implica por rank–nullity que
$$\dim(\operatorname{Im}T)=5-1=4.
$$
Mas o codomínio é , onde a imagem não pode ter dimensão maior que 3. Isso é impossível. d) é Falsa.
Mas o codomínio é
Resposta
a) Verdadeira; b) Falsa; c) Falsa; d) Falsa.