Encontre no
dois elementos
e
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos em S₃ duas permutações a e b tais que
O conteúdo envolve o grupo simétrico S₃ e o fato de que ele não é abeliano, ou seja, nem sempre
.
Passo 2
Em S₃ temos seis permutações, incluindo as transposições que trocam dois elementos e deixam o terceiro fixo. Uma propriedade importante é que toda transposição
satisfaz
, onde
é a identidade.
Passo 3
Para garantir que
, escolhemos duas transposições que não comutam. Por exemplo:
a =
e b =
.
Passo 4
Vamos calcular primeiro
:
Logo,
Passo 5
Agora calculamos
. Como ambas são transposições, temos:
então
Passo 6
Comparando, vemos que
portanto essas escolhas satisfazem o que o enunciado pede.
Resposta
Um exemplo é escolher
e
, pois
.