Encontre no S3 dois elementos a e b tais que (a b)^2 neq a^2 b^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos em S₃ duas permutações a e b tais que
(ab)^2 neq a^2 b^2.
O conteúdo envolve o grupo simétrico S₃ e o fato de que ele não é abeliano, ou seja, nem sempre ab = ba.

Passo 2

Em S₃ temos seis permutações, incluindo as transposições que trocam dois elementos e deixam o terceiro fixo. Uma propriedade importante é que toda transposição τ satisfaz τ^2 = e, onde e é a identidade.

Passo 3

Para garantir que (ab)^2 neq a^2 b^2, escolhemos duas transposições que não comutam. Por exemplo:
a = (1,2) e b = (2,3).

Passo 4

Vamos calcular primeiro ab:
ab = (1,2)(2,3) = (1,2,3)
Logo,
(ab)^2 = (1,2,3)^2 = (1,3,2)

Passo 5

Agora calculamos a^2 b^2. Como ambas são transposições, temos:
a^2 = (1,2)^2 = e,
b^2 = (2,3)^2 = e,
então
a^2 b^2 = e ,e = e

Passo 6

Comparando, vemos que
(ab)^2 = (1,3,2) neq e = a^2 b^2,
portanto essas escolhas satisfazem o que o enunciado pede.

Resposta

Um exemplo é escolher a=(1,2) e b=(2,3), pois (ab)^2=(1,3,2)neq e = a^2 b^2.

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